Matem´ atica 12.o / Ensino M´ edio Ficha+Aulas de Trigonometria

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Vers˜ao de 18 de Maio de 2017. Verifique se existe vers˜ao com data mais recente aqui.

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A Ficha+Aulas de Trigonometria inclui 11 aulas e 73 exerc´ıcios em v´ıdeo. Todos os direitos de autor est˜ao reservados para o autor Rui Castanheira de Paiva ([email protected], www.academiaaberta.pt e www.facebook.com/aaberta). A ficha udos interatamb´em est´a dispon´ıvel em www.academiaaberta.pt juntamente com conte´ tivos e f´orum de tira d´ uvidas. Recomendamos que a utilize de acordo com a seguinte sequˆencia:

de

V´ıdeo da aula → Resolver os exerc´ıcios → Confirmar resultados nos v´ıdeos

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w.

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Para visualizar a resolu¸c˜ao dum exerc´ıcio deve clicar no ´ıcone junto ao mesmo. Os v´ıdeos associados a esta ficha de trabalho tˆ em acesso gratuito e, do ponto de vista pr´ atico, pretendem ser uma introdu¸c˜ ao ao tema abordado. Pode encontrar em bit.ly/compralivrohibrido o livro de 592 paginas: R.C.Paiva. Prepara¸c˜ao h´ıbrida para o exame nacional de matem´atica 2017, Edi¸c˜ao de Autor, 2016. ISBN 10: 98-920-6010-5. Dep´osito legal: M. 398220/16. O objetivo principal desta obra ´e preparar um aluno de forma completa para o exame nacional de Matem´atica A do 12.o ano atrav´es de um livro que acrescenta aos conte´ udos habituais dos livros com o mesmo prop´osito que est˜ao no mercado, resumos te´oricos acompanhados de v´ıdeos tutoriais, exerc´ıcios chave resolvidos passo a passo em v´ıdeo e aplica¸c˜oes dinˆamicas. Todos estes conte´ udos est˜ao acess´ıveis atrav´es de endere¸cos da Internet e de QR Codes. Deste modo, ao apontar a cˆamara de um smartphone ou tablet para as p´aginas do manual impresso visualizam-se v´ıdeos, acede-se a aplica¸c˜oes dinˆamicas e a outros recursos complementares relacionados com o tema abordado.

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O livro acrescenta aos recursos existentes em www.academiaaberta.pt: • Resumos te´oricos acompanhados de v´ıdeos (acess´ıveis por QR Codes);

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• Mais de 200 exerc´ıcios chave resolvidos passo a passo em v´ıdeo e apoiados por aplica¸c˜oes dinˆamicas (acess´ıveis por QR Codes);

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• Mais de 350 exerc´ıcios resolvidos de forma detalhada (10.o , 11.o e 12.o anos);

• Mais de 400 quest˜oes propostas com solu¸c˜oes desenvolvidas (10.o , 11.o e 12.o anos);

de

• Exames-tipo com resolu¸c˜ao;

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• Exames nacionais de 2015 e 2016 com resolu¸c˜ao;

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w.

• Liga¸c˜oes a conte´ udos adicionais dispon´ıveis em www.academiaaberta.pt; • As resolu¸c˜oes dos exerc´ıcios resolvidos num ficheiro PDF online;

• credenciais de acesso aos conte´ udos interativos e multim´edia e instru¸c˜oes de utiliza¸c˜ao de um leitor de QR Codes. Pode ver mais pormenores e adquirir o livro em bit.ly/compralivrohibrido. Pode aceder em bit.ly/livro2017 a um v´ıdeo de apresenta¸c˜ao do livro (apenas 2 minutos). 1

.

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Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 1 clique em

w.

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de

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AULA 1: Raz˜oes trigonom´etricas

Determine, com aproxima¸c˜ao `as d´ecimas, a ´area do quadril´atero [ABCD].

1.1.

C 29◦

21.3 cm

D 3 2 1

A

−1

3

4

6B

7

8

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Determine, com base nas indica¸c˜oes da figura, a altura da do poste de eletricidade arredondada `as cent´esimas.

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7

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1.2.

2

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−1

1

28◦ 5

D b

6

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a ca

de

5 4 3 2 1

−1 A −1

b

22.5◦ 1 2 3

43◦ 8B 9 10 11 12 13 14 15C 16 b

4 5 21.3 m

6

7

−2 2

b

1.3.

Determine, com arredondamento `as cent´esimas, a ´area a sombreado na figura, limitada por uma circunferˆencia e por um pol´ıgono regular. 3 2

6 cm

t

b

be

1

−1

2

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−2

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1

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de

ˆ AULA 2: Angulos de referˆencia

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Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 2 clique em

Determine o valor exato do per´ımetro do seguinte triˆangulo:

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be

2.1.

4

B

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w.

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de

3

2.2.

.

2

10 c

m 7c

m

1 1 A −1

30◦ 1 2 3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 C16 17

Simplifique cada uma das seguintes express˜oes: √ tg45◦ + 2 sen30◦ (a) sen45◦ cos 30◦ − 2 tg 60◦ (b) sen60◦ − 4 cos 60◦ 3

(c) 6 tg 2 30◦ −

sen30◦ cos 30◦

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a ca

de

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be

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ˆ AULA 3: Angulo e arco generalizados

Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 3 clique em 3.1.

.

Represente num referencial os ˆangulos de amplitudes 75◦ , 200◦, −240◦ e 1256◦ , indique o seu quadrante e a express˜ao geral dos ˆangulos com o mesmos lado origem e lado extremidade que cada um deles.

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w.

a ca

de

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be

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AULA 4: O Radiano

Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 4 clique em

4.1.

Converta em radianos 210◦, 195◦ e 96◦ 35′ . 4

.

4.2.

Converta em graus

10 7 π rad, − π rad e 5 rad. 3 5

4.3. Determine o comprimento do arco s, a amplitude em radianos de θ e o raio r da circunferˆencia: (b)

1

5 cm 1 2

3 −2 −1 ◦ −1 100

3 −2 −1 −1

θ 3 1cm 2

−2

2 8 cm 1

3 −2 −1 −1

1.2 rad 1r 2

−2

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w.

a ca

−2

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1

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6 cm

2

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s

de

2

(c)

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(a)

a ca

de

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be

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AULA 5: C´ırculo trigonom´etrico

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w.

Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 5 clique em

5.1.

.

Na figura seguinte est˜ao representados o c´ırculo trigonom´etrico e os aˆngulos m´ ultiplos de 30◦ e de 45◦ . Determine a amplitude dos ˆangulos em graus e radianos e os valores exatos dos seus senos, co-senos e tangentes. Confirme os valores obtidos na calculadora. 5

y

0

x

11

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−1

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t

1

w.

a ca

de

−1

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5.2. Calcule o valor exato de cada uma das express˜oes:   3 3 (a) π − 3 cos π; senπ + sen0 + cos π − sen 2 2       13 13 19 (b) π + cos (−3π) − tg π + cos − π ; sen 3 4 6       17 7 43 tg π + cos (6π) − sen − π + cos − π . (c) 4 2 6 Qual o quadrante em que:

5.3.

(a) o seno ´e positivo e crescente; (b) o seno ´e negativo e o co-seno positivo;

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t

(c) a tangente ´e negativa e o co-seno ´e crescente;

be

(d) o seno ´e decrescente e o co-seno crescente.

a ca

de

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5.4. Determine, recorrendo a intervalos de n´ umeros reais, os valores de k para os quais as seguintes condi¸c˜oes s˜ao poss´ıveis: 1 − 3k (a) senx = cos x = k 2 − 2k + 1 ∧ x ∈ 1.◦ Q ∧ x ∈ ]π, 2π[ (b) 2   (c) tg x = 4 − k 2 ∧ x ∈ π2 , π .

ww

w.

5.5. Determine o contradom´ınio de cada uma das seguintes fun¸c˜oes: x ; (b) (a) f (x) = 2 + 3 sen f (x) = 1 − 2 cos2 x; 2 1 − 3 cos2 x f (x) = 1 + tg 2 x; (d) f (x) = ; (c) 2 2 − sen (x2 ) 8 f (x) = f (x) = (e) ; (f) . 3 3 + 2 senx 6

ww

w.

a ca

de

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be

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AULA 6: Redu¸ca˜o ao 1.◦ quadrante

Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 6 clique em

.

6.1. Exprima nas raz˜oes trigonom´etricas do ˆangulo de amplitude α cada uma das seguintes express˜oes:

(b)

sen (3π − α) − cos (7π + α) − sen 2     5 3 π − α + 2 cos π − α + tg (15π − α); sen 2 2     7 α α 5 × cos − π + . tg − π + 2 2 2 2

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(c)

 −α ;

t

(a)

π

mi aa

be

6.2. Calcule o valor exato de cada uma das seguintes express˜oes recorrendo a` redu¸c˜ao ao primeiro quadrante:

a ca

de

(a)

ww

w.

(b)

     11 13 2 π − 2 cos π − 3 tg π ; 4 sen 3 4 4

π + 6 tg 94 π 10 sen 11 6
. 1 − 2 cos − 32 π 

7

ww

w.

a ca

de

mi aa

be

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t

AULA 7: F´ormulas trigonom´etricas

Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 7 clique em

.

1 e que α ∈]π, 2π[ determine o valor exato de senα−2 tgα. 3

7.1.

Sabendo que cos α =

7.2.

Sabendo que tg (π − α) = 5 e que α ∈]0, π[ determine o valor exato de  π sen −α − + cos (π + α) − tg (5π − α) . 2 Sabendo que tg (β − π) = − 21 e que β ∈ ]0, π[ calcule o valor exato de

5sen − π2 − β + 2 cos 7π −β 2 . 2tg (33π − β)

mi aa

be

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t

7.3.

a ca

(a)

de

7.4. Mostre que, sempre que as express˜oes tˆem sentido, se tem:

ww

w.

(b)

(c)

( senx − cos x)2 + 4 senx cos x − 1 = 2 tgxcos2 x; ( senx − cos x)2 − 1 = − cos x; 2 senx 1 1 2 tgx − = . 1 − senx 1 + senx cos x

8

ww

w.

a ca

de

mi aa

be

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AULA 8: Fun¸co˜es trigonom´etricas

Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 8 clique em

8.1.

.

Na figura seguinte est´a representado o gr´afico de uma fun¸c˜ao real de vari´avel real definida por f (x) = a + b sen(2x) para a, b ∈ R. Determine f (x). y 33 5+ 2 22 b

f

11

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t

1 2

−2− π2 −1

b

1 −1 −1

−2

ww

w.

a ca

de

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be

−5 −4 −π −3 − 3π 2

b

9

π 2

b

|

2 34 π 3π

4

3π5 2

x6

ww

w.

a ca

de

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be

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t

AULA 9: Equa¸co˜es trigonom´etricas

Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 9 clique em

.

9.1. Resolva, cada uma das seguintes equa¸c˜oes trigonom´etricas e indique, para as trˆes primeiras, as solu¸c˜oes que pertencem ao intervalo [−π, π]. (a) (c) (e)

√ 2 senx = − 3

(b)

√ 3 tgx = −3 3 x √ + 3=0 2 cos 2

(d) (f)

√ − 2 − 2 sen(3x) = 0 √ 3 =0 cos x + 2  π =0 1 − 2 sen 2 θ − 3

(a)

( senx + 2) tg x +

(c)

2cos2 x +

(e)

mi aa

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t

9.2. Resolva no sistema circular cada uma das seguintes equa¸c˜oes:

be

3 cos x = 0

de

senx = cos x

cos (2x) + 3 senx = 2

a ca

(g)

√

√
3 =0

w.

(i)

ww

(l)

9.3.

senx + cos x = 1

π 3




+

√

(b)

2 cos 2x −

(d)

2cos2 x + 2 = −5 cos x

(f)

sen(2x) = − cos

(h)

√

(j)

1 2

3=0

π 5




3 cos x − senx = 1

sen(2x) = − senx

1 + cos t = cos 2t

Uma fun¸c˜ao f ´e peri´odica de per´ıodo P se f (x + P ) = f (x), ∀x ∈ Df . Ao menor valor da constante P que verifica esta condi¸c˜ao chamamos per´ıodo positivo m´ınimo de f . 10

Tendo esta defini¸c˜ao em considera¸c˜ao, determine o per´ıodo positivo m´ınimo da fun¸c˜ao definida por f (x) = 4 + 2 sen(3x − 1).

ww

w.

a ca

de

mi aa

be

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AULA 10: Limite not´avel

Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 10 clique em

(c) (f)

be

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t

10.1. Calcule, se existir, cada um dos seguintes limites: sen(3x) 4x (a) lim lim (b) x→0 x→0 sen(6x) x x π senx (e) sen lim lim (d) x→π π − x x→+∞ 2 x sen(3x) cos2 (2x) lim lim (g) (h) 1 x→0 e5x − 1 x→ π3 + cos x − 2

.

Determine o valor real de k de modo que a fun¸c˜ao definida por    e2x + k se x ≤ 0 f (x) =   sen(2x) se x > 0 x

a ca

de

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10.2.

(i)

ww

w.

seja cont´ınua em x = 0.

11

tg (3x) x→0 x senx lim x→0 ex − 1 3 lim+ x→π senx lim

ww

w.

a ca

de

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be

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AULA 11: Derivadas trigonom´etricas

Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 11 clique em

.

11.1. Calcule as derivadas de cada uma das seguintes fun¸c˜oes, definidas pela sua express˜ao alg´ebrica: f (x) = sen (5x + 3)

(b)


f (x) = x cos 2x2 − 4x

(c)

f (x) = sen 2 (2 − 3x)

(d)


f (x) = senx × tg 3x3 + x

(e)

f (x) =

(f)

f (x) = 4 +

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t

tg (3x2 ) x2 − x

8 − 4 senx cos x

Estude a monotonia e a existˆencia de extremos relativos da fun¸ca˜o definida em [0, 2π] por senx f (x) = . 2 + cos x

ww

w.

a ca

de

mi aa

be

11.2.

(a)

12

Certa f´abrica pretende produzir mosaicos com a forma de trap´ezios retˆangulos, como mostra a figura.

b

1 cm

B b

2c

h

b

E

D 1

θ 2

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−1

b

m

t

A

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1

be

11.3.

b

C

3

a ca

de

  Considere que AB = 1 dm e BC = 2 dm e que θ ∈ 0, π2 designa a amplitude (em radianos) do ˆangulo ∡BCD:

w.

(a) Exprima a altura h do trap´ezio e o comprimento da base maior em fun¸c˜ao de θ.

ww

(b) Mostre que a ´area A(θ) do trap´ezio ´e dada, em dm2 , por A (θ) = 2senθ + sen (2θ) .

ww

w.

a ca

de

mi aa

be

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t

(c) Determine o valor de θ para o qual o mosaico tem ´area m´axima e calcule essa ´area.
(d) Determine A π2 e interprete geometricamente o resultado obtido, caracterizando o quadril´atero que se obt´em para θ = π2 .

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