Matemática A Preparação híbrida para o exame nacional 2017

12.o ano – Ensino Secundário Rui Castanheira de Paiva

Preparação completa para o exame: • Resumos teóricos acompanhados de vídeos • Mais de 200 exercícios chave resolvidos em vídeo • Mais de 350 exercícios resolvidos (10.o , 11.o e 12.o anos) • Mais de 400 questões propostas com soluções (10.o , 11.o e 12.o anos) • Exames-tipo com resolução • Exames nacionais de 2015 e 2016 com resolução.

Conteúdos adicionais disponíveis em: www.academiaaberta.pt

Introdução

O objetivo principal desta obra é preparar um aluno de forma completa para o exame nacional de Matemática A do 12.o ano através de um livro que acrescenta aos conteúdos habituais dos livros com o mesmo propósito que estão no mercado, resumos teóricos acompanhados de vídeos tutoriais, exercícios chave resolvidos passo a passo em vídeo e aplicações dinâmicas. Todos estes conteúdos estão acessíveis através de endereços da Internet e de QR Codes. Deste modo, ao apontar a câmara de um smartphone ou tablet para as páginas do manual impresso visualizam-se vídeos, acede-se a aplicações dinâmicas e a outros recursos complementares relacionados com o tema abordado. O livro inclui: • Resumos teóricos acompanhados de vídeos

• Mais de 200 exercícios chave resolvidos passo a passo em vídeo e apoiados por aplicações dinâmicas • Mais de 350 exercícios resolvidos de forma detalhada (10.o , 11.o e 12.o anos)

• Mais de 400 questões propostas com soluções desenvolvidas (10.o , 11.o e 12.o anos) • Exames-tipo com resolução

• Exames nacionais de 2015 e 2016 com resolução

• Ligações a conteúdos adicionais disponíveis em www.academiaaberta.pt

• As resoluções dos exercícios resolvidos num ficheiro PDF online

• credenciais de acesso aos conteúdos interativos e multimédia e instruções de utilização de um leitor de QR Codes. O livro pode ser adquirido em bit.ly/comprapagalivrosficha. Desejo o maior sucesso a todos! O autor, Rui Paiva Home page: bit.ly/cvruicpaiva

Conteúdo

Combinatória e probabilidades

I 1

Análise combinatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1

Principio fundamental da contagem

17

1.2

Permutações

17

1.3

Arranjos sem repetição

18

1.4

Arranjos com repetição

18

1.5

Combinações

19

1.6

Triângulo de Pascal

19

1.7

Binómio de Newton

20

1.8

Exercícios de escolha múltipla resolvidos

21

1.9

Exercícios de desenvolvimento resolvidos

27

1.10

Exercícios de escolha múltipla propostos

55

1.11

Exercícios de desenvolvimento propostos

57

2

Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.1

Revisão de conjuntos

61

2.2

Experiência aleatória e acontecimentos

63

2.3

Definição de probabilidade

64

2.4

Probabilidade condicionada

65

2.5

Acontecimentos independentes

66

2.6

Exercícios de escolha múltipla resolvidos

66

2.7

Exercícios de desenvolvimento resolvidos

70

2.8

Exercícios de escolha múltipla propostos

94

2.9

Exercícios de desenvolvimento propostos

95

3

Distribuição de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.1

Variáveis aleatórias

101

3.2

Função de probabilidade de uma variável aleatória real discreta

101

3.3

Distribuição Binomial

103

3.4

Distribuição Normal

103

3.5

Exercícios de escolha múltipla resolvidos

105

3.6

Exercícios de desenvolvimento resolvidos

107

3.7

Exercícios de escolha múltipla propostos

116

3.8

Exercícios de desenvolvimento propostos

117

Soluções dos resolvidos e dos propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Funções

II 4

Funções exponencial e logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.1

Função exponencial

125

4.2

Função logarítmica

127

4.3

Exercícios de escolha múltipla resolvidos

129

4.4

Exercícios de desenvolvimento resolvidos

133

4.5

Exercícios de escolha múltipla propostos

169

4.6

Exercícios de desenvolvimento propostos

170

5

Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.1

Definição de limite

173

5.2

Indeterminações

175

5.3

Limites notáveis

175

5.4

Funções contínuas

176

5.5

Assíntotas

178

5.6

Exercícios de escolha múltipla resolvidos

179

5.7

Exercícios de desenvolvimento resolvidos

189

5.8

Exercícios de escolha múltipla propostos

238

5.9

Exercícios de desenvolvimento propostos

242

6

Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

6.1

Taxa média de variação

247

6.2

Reta tangente

248

6.3

Derivada num ponto

248

6.4

Derivadas laterais

249

6.5

Derivabilidade e continuidade

250

6.6

Função derivada

250

6.7

Regras de derivação

250

6.8

Aplicações das derivadas

251

6.9

Exercícios de escolha múltipla resolvidos

254

6.10

Exercícios de desenvolvimento resolvidos

259

6.11

Exercícios de escolha múltipla propostos

305

6.12

Exercícios de desenvolvimento propostos

308

Soluções dos resolvidos e dos propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

Trigonometria e complexos

III 7

Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

7.1

Razões trigonométricas de um ângulo agudo

323

7.2

Ângulos de referência

324

7.3

Ângulo e arco generalizados

324

7.4

O radiano

324

7.5

Círculo trigonométrico

325

7.6

Relações trigonométricas

327

7.7

Fórmulas trigonométricas

328

7.8

Funções trigonométricas

329

7.9

Equações trigonométricas

331

7.10

Limite notável

331

7.11

Derivadas

332

7.12

Exercícios de escolha múltipla resolvidos

332

7.13

Exercícios de desenvolvimento resolvidos

341

7.14

Exercícios de escolha múltipla propostos

394

7.15

Exercícios de desenvolvimento propostos

397

8

Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

8.1

Forma algébrica de números complexos

401

8.2

Representação geométrica de números complexos

402

8.3

Operações com números complexos

402

8.4

Representação de números complexos na forma trigonométrica

403

8.5

Operações com números complexos na forma trigonométrica

405

8.6

Domínios planos e condições em variável complexa

408

8.7

Exercícios de escolha múltipla resolvidos

410

8.8

Exercícios de desenvolvimento resolvidos

419

8.9

Exercícios de escolha múltipla propostos

446

8.10

Exercícios de desenvolvimento propostos

448

Soluções dos resolvidos e dos propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

IV

Conteúdos de 10.◦ e 11.◦ anos

9

Geometria analítica no plano e no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

9.1

Problemas resolvidos

459

9.2

Problemas propostos

473

10

Programação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

10.1

Problemas resolvidos

477

10.2

Problemas propostos

480

11

Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

11.1

Problemas resolvidos

483

11.2

Problemas propostos

495

12

Sucessões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

12.1

Problemas resolvidos

497

12.2

Problemas propostos

507

13

Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

13.1

Problemas resolvidos

511

13.2

Problemas propostos

521

Soluções dos resolvidos e dos propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

Exames modelo do exame nacional

V 14

Exames modelo de Matemática A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

14.1

Exame modelo 1

531

14.2

Exame modelo 2

535

14.3

Exame modelo 3

539

14.4

Exame modelo 4

542

14.5

Soluções

546

Exames nacionais

VI 15

Exames nacionais de Matemática A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

15.1

Exame nacional 1 – 1.a fase 2015

551

Proposta de resolução

556

15.2

Exame nacional 2 –

2.a

Proposta de resolução

fase 2015

559 563

15.3 15.4

Exame nacional 3 – 1.a fase 2016

567

Proposta de resolução

571

Exame nacional 4 –

2.a

Proposta de resolução

fase 2016

575 579

Formulário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

1. Análise combinatória

1.1 Principio fundamental da contagem Proposição 1.1 — Principio fundamental da contagem

Se um acontecimento pode ocorrer de n1 maneiras diferentes e se, após este acontecimento, um segundo pode ocorrer de n2 maneiras diferentes e, após este, um terceiro pode ocorrer de n3 maneiras diferentes,... então o número de maneiras diferentes em que os acontecimentos podem ocorrer na ordem indicada é igual ao produto: n1 × n2 × n3 × . . . Exemplo: Um restaurante com uma ementa de 4 entradas, 5 pratos principais e 3 sobremesas

possibilita 4 × 5 × 3 = 60 escolhas a um cliente. Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/combvideo1 ao vídeo de exposição da presente

secção.

1.2 Permutações Definição 1.1 — Definição de fatorial

Chama-se fatorial de um número natural n, e representa-se por n! ao produto: n! = n × (n − 1) × (n − 2) × . . . × 3 × 2 × 1 Por convenção, tem-se: 0! = 1. Exemplo: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Capítulo 1. Análise combinatória

18

Definição 1.2 — Definição de permutação

Chama-se permutação de n elementos (n ∈ N0 ) a todas as sequências diferentes que é possível obter com os n elementos. O número dessas sequências representa-se por Pn (ler: “permutações de n”) e é igual a Pn = n! Exemplo: Numa corrida de atletismo com cinco atletas é possível haver

P5 = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 classificações. Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/combvideo2 ao vídeo de exposição da presente

secção.

1.3

Arranjos sem repetição

Definição 1.3 — Definição de arranjos simples

Dados n elementos diferentes, a1 , a2 ,... , an , chama-se arranjos sem repetição de n elementos p a p a todas as sequências que é possível obter com p elementos escolhidos arbitrariamente entre os n dados (p ≤ n). O número de todas estas sequências designa-se por n Ap (ler arranjos de n, p a p). n! e n An = Pn . Da definição, deduz-se que: n Ap = (n − p)! Exemplo: Numa corrida de atletismo com cinco atletas é possível atribuir as medalhas de ouro,

prata e bronze de 5 A3 =

5! (5−3)!

= 60 maneiras diferentes.

Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/combvideo3 ao vídeo de exposição da presente

secção.

1.4

Arranjos com repetição

Definição 1.4 — Definição de arranjos com repetição

Dados n elementos diferentes, a1 , a2 ,... , an , chama-se arranjos com repetição dos n elementos p a p a todas as sequências de p elementos, sendo estes diferentes ou não, que se podem formar de modo que as sequências diferem pelos elementos que as compõem ou pela ordem de colocação. O número total de sequências representa-se por n A′p (ler arranjos com repetição de n, p a p) e tem-se: n ′ Ap = np . Exemplo: Como o código de um cartão multibanco tem quatro dígitos há 10 A′ 4

= 104 = 10000 códigos distintos.

Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/combvideo4 ao vídeo de exposição da presente

secção.

1.8 Exercícios de escolha múltipla resolvidos

21

Exemplo: (x + 3y)4 = 4 C0 x4 + 4 C1 x3 y + 4 C2 x2 y 2 + 4 C3 xy 3 + 4 C4 y 4 . Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/combvideo7 ao vídeo de exposição da presente

secção.

1.8 Exercícios de escolha múltipla resolvidos Problema resolvido 1.1

O código de uma mala de viagem é formado por três algarismos inteiros de 0 a 9. Quantos códigos distintos há neste sistema? (A) 999 (B) 1000 (C) 720 (D) 987 Resolução:

1.◦ 2.◦ 3.◦ Um método para resolver o problema é recorrer a um esquema 10 10 10 e ao Princípio fundamental da contagem (ver Proposição 1.1). Como há 10 números disponíveis para o primeiro algarismo, 10 para o segundo e 10 para o terceiro temos 10 × 10 × 10 = 1000 códigos distintos. O esquema em cima ilustra a situação. Um outro processo é recorrer ao conceito de arranjos com repetição (ver Definição 1.4). Como pretendemos saber quantas sequências há de 3 algarismos distintos ou não escolhidos de 0 a 9 temos 10 A′3 = 103 = 1000. A resposta correta é a (B).

Problema resolvido 1.2

O Carlos tem 3 livros de Matemática, 2 de Português e 1 de Geografia. 1.2.1 De quantos modo os pode colocar juntos por disciplinas? (A) 72

(B) 12

(C) 720

(D) 354

1.2.2 De quantos modo os pode colocar com os livros de matemática separados? (A) 500

(B) 254

(C) 612

(D) 576

Resolução: 1.2.1 No esquema ao lado está ilustrado um exemplo

M1 M2 M3 P1 P2 G de colocação dos livros juntos por disciplinas. Note-se que há 3! modos de permutar as 3 disciplinas. 3! 2! Se designarmos as disciplinas de Matemática, Português e Geografia por M , P e G temos de facto as possibilidades M P G, M GP , P M G, GM P , P GM e GP M . Temos no total 3! × 2! × 1! × 3! = 72 modos distintos de arrumar os livros na prateleira. Há 3! possibilidades de permutar as 3 disciplinas. Há 2! possibilidades de colocar os livros de Português Há 3! possibilidades de colocar os livros de Matemática

Deste modo, a resposta correta é a (A).

52

Capítulo 1. Análise combinatória

escolhidas entre as cinco não azuis de 5 A2 maneiras. Escolhem-se Arranjos porque a ordem de colocação diferencia a sequência.
O total do Caso 2 é portanto 5 A3 × 5 A2 − 5 C3 × 5 A2 = 5 A2 × 5 A3 − 5 C3 . Somando os resultados dos dois casos ficamos com a resposta final:
3 C2 × 5 C2 × 5 A3 + 5 A2 × 5 A3 − 5 C3 .

Problema resolvido 1.51

Considere onze fichas, indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 11. Na figura ao lado, está representado um tabuleiro com 16 casas, 1 2 3 4 dispostas em quatro filas horizontais (A, B, C e D) e em A quatro filas verticais (1, 2, 3 e 4). Pretende-se dispor fichas no tabuleiro, de modo que cada ficha B ocupe uma única casa e que cada casa não seja ocupada por C mais do que uma ficha. De quantas maneiras diferentes é possível dispor as onze fichas D no tabuleiro: 1.51.1 nas condições apresentadas? Apresente, sem calcular, uma expressão que represente o número de possibilidades. 1.51.2 de tal forma que as que têm número par diferente de 2 ocupem uma única fila vertical? 1.51.3 de tal forma que pelo menos uma das diagonais fique com números inferiores a 9? Apre-

sente, sem calcular, uma expressão que represente o número de possibilidades. Resolução: 1.51.1 Temos

16 A 11

disposições.

1.51.2 A figura seguinte ilustra um exemplo do que se pretende

1 A 8

2 2

B 10

3 1

4 7

9

5

C 6 D 4

3

11

No total temos 4! × 12 A7 × 4 = 383201280 possibilidades. O 4! representa o número de permutações das fichas com os números 4, 6, 8 e 10 numa fila vertical. Para cada um destes casos podemos colocar as restantes sete fichas, que são distinguíveis, nos doze lugares sobrantes de 12 A maneiras. Como em cada uma das quatro filas a situação é semelhante, multiplica-se por 7 4. 1.51.3 A figura seguinte ilustra dois exemplos do que se pretende.

Capítulo 2. Probabilidades

66 temos

P (A|B) =

P (A ∩ B) = P (B)

1 6 3 6

=

1 6 1 × = . 6 3 3

A probabilidade P (A|B) pode ler-se “probabilidade de sair 6 sabendo que saiu número par”. Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/probvideo4 ao vídeo de exposição da presente

secção.

2.5

Acontecimentos independentes

Definição 2.10 — Definição de acontecimentos independentes

Sejam A e B dois acontecimentos do mesmo espaço. Dizemos que A e B são independentes se P (A ∩ B) = P (A) × P (B). Os acontecimentos M : “ser bom a matemática” e B: “ser bom a basquete” são independentes uma vez que a realização de um deles não interfere com a realização do outro. Note-se no entanto que não são incompatíveis. De facto há pessoas boas a matemática e no basquete. Se tivermos P (M ) = 0.1 e P (B) = 0.12 então P (M ∩ B) = 0.1 × 0.12 = 0.012.

Exemplo:

Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/probvideo5 ao vídeo de exposição da presente

secção.

2.6

Exercícios de escolha múltipla resolvidos

Problema resolvido 2.1

Numa cidade há 1100 jovens com 20 anos dos quais 350 estão a tirar um curso superior. Fez-se uma sondagem aos indivíduos desta idade. Qual é a probabilidade de em 8 inquiridos haver exatamente 2 que estão a tirar curso superior? 350 C × 750 C 350 A × 750 A 6 2 2 2 6 2 6 (B) (D) × (A) (C) 1100 C 1100 A 350 350 750 8 8 Resolução:

A primeira questão que surge nesta pergunta é se a ordem interessa. Na verdade, é indiferente! Vamos apresentar duas propostas de resolução correspondentes aos dois casos. Se considerarmos que a ordem não interessa teremos que recorrer às Combinações (recordar Definição 1.5) para determinar os casos favoráveis e os casos possíveis da Lei de Laplace (recordar Definição 2.8). Os casos possíveis são 1100 C8 correspondentes ao número de possibilidades de escolha de subconjuntos de 8 elementos de um conjunto de 1100 elementos. Os casos favoráveis são 350 C2 × 750 C6 correspondentes à escolha de 2 jovens entre os 350 alunos de curso superior e dos restantes 6 jovens entre os 1100−350 = 750 que não frequentam nenhum curso superior. A probabilidade é portanto 350 C × 750 C 2 6 . 1100 C 8

2.6 Exercícios de escolha múltipla resolvidos

67

Se considerarmos que a ordem interessa temos como probabilidade 350 C

2

× 750 C6 × 8! . 1100 A 8

De facto, o número de casos possíveis 1100 A8 corresponde ao número de sequências de 8 elementos escolhidos de um conjunto de 1100 elementos (recordar o concito de arranjos simples Definição 1.3). Os casos favoráveis são 350 C2 × 750 C6 × 8! correspondentes aos casos favoráveis sem dar importância à ordem multiplicados por 8!. O 8! permuta os 8 elementos escolhidos. Pode verificar em qualquer calculadora científica que os resultados são iguais. A opção correta é a (A).

Problema resolvido 2.2

Considere todos os números naturais formados por 4 algarismos. Sabendo que o primeiro algarismo é 6, qual é a probabilidade de o último algarismo ser maior que os outros três? (A) 0.258

(B) 0.052

(C) 0.297

(D) 0.194

Resolução:

O esquema seguinte ilustra os casos favoráveis a ter o primeiro algarismo igual a 6 e o último algarismo ser maior que os outros três. 6

7 7 A′ 2

Sequências de dois algarismos diferentes ou não escolhidos de {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

6 +

8 8 A′ 2

Sequências de dois algarismos diferentes ou não escolhidos de {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

6 +

8 9 A′ 2

Sequências de dois algarismos diferentes ou não escolhidos de {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Podemos portanto concluir que há 7 A′2 + 8 A′2 + 9 A′2 = 72 + 82 + 92 = 194 casos favoráveis. Os casos possíveis são 10 A′3 = 103 = 1000 correspondentes às sequências de três números diferentes ou não escolhidos de {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Pela Lei de Laplace (recordar Definição 2.8) temos que a probabilidade pedida é 194 = 0.194. 1000 A opção correta é a (D).

2.7 Exercícios de desenvolvimento resolvidos

87

Se A ∩ B = ∅ então P (A ∩ B) = P (∅) = 0. No entanto, como P (A) 6= 0 e P (B) 6= 0 então P (A) × P (B) 6= 0. Podemos assim concluir que P (A ∩ B) 6= P (A) × P (B). Consequentemente A e B são dependentes.

Problema resolvido 2.31

Uma geladaria tem uma montra com oito compartimentos, dispostos em duas filas, onde pretende dispor o sabor de chocolate em dois compartimentos e cada um dos sabores de baunilha, iogurte, laranja, ananás e morango num único compartimento. 2.31.1 Qual é a probabilidade, ao dispor os sabores aleatoriamente nos compartimentos, os

gelados de fruta (laranja, ananás e morango) ficarem na fila da frente? Apresente o resultado na forma de fração irredutível. 2.31.2 O Manuel pediu um gelado de três bolas e a Rita um de duas bolas.

Como os sabores são todos muito bons, a sua escolha foi aleatória com os sabores de cada gelado todos distintos. Qual é a probabilidade de pelo menos um dos sabores dos gelados escolhidos pelo Manuel e pela Rita ser igual? Apresente o resultado na forma de fração irredutível. Resolução: 2.31.1 A figura seguinte ilustra um exemplo do que se pretende, onde os sabores são identificados

pela primeira letra do sabor. C

C

B

L

A M

I

Como os sabores são dispostos aleatoriamente nos compartimentos, podemos utilizar a Lei de Laplace para calcular a probabilidade pretendida. Os casos favoráveis são 4 A3 × 5 A2 × 3 C2 . De facto há 4 A3 possibilidades de colocar os três sabores de fruta, que são distinguíveis, nos quatro compartimentos da frente. Para cada uma destas possibilidades podemos colocar os sabores de baunilha e iogurte, que são distinguíveis, nos cinco compartimentos que sobram de 5 A2 maneiras. Para cada uma destas colocações podemos escolher os dois compartimentos entre os três compartimentos que sobram para colocar o sabor de chocolate de 3 C2 maneiras. Escolheu-se Combinações porque, como os dois compartimentos ficam com o mesmo sabor, a ordem de colocação não interessa. Os casos possíveis são 8 A5 × 3 C2 uma vez que há 8 A5 possibilidades de posicionar os cinco sabores distinguíveis nos compartimentos (frutas, baunilha e iogurte) e para cada uma delas podemos escolher os dois compartimentos entre os três que sobram para colocar os dois sabores de chocolate de 3 C2 maneiras. De acordo com a Lei de Laplace, a probabilidade pedida é 4A × 5A × 3C 3 2 2 8A × 3C 5 2

=

1 . 14

4. Funções exponencial e logarítmica

4.1 Função exponencial Definição e gráfico da função exponencial Definição 4.1 — Definição de função exponencial

Chama-se função exponencial à função f :R → R

x 7→ f (x) = ax

onde a ∈ R+ \ {1}.

Propriedade 4.1 — Funções exponenciais de base superior a 1

Uma função exponencial de base a > 1 definida por f (x) = ax tem as seguintes propriedades: y

• Df = R; • Df′ =]0, +∞[; • Consequentemente, f é positiva em R;

y = ax

• f (0) = 1; • f é injetiva;

a

• y = 0 é assíntota horizontal quando x → −∞;

1 0

b

b

1

x

Capítulo 4. Funções exponencial e logarítmica

126 •

lim ax = 0 e lim ax = +∞;

x→−∞

x→+∞

• f é crescente em R.

Propriedade 4.2 — Funções exponenciais de base 0 < a < 1

Uma função exponencial de base 0 < a < 1 definida por f (x) = ax tem as seguintes propriedades: • Df = R;

y

• Df′ =]0, +∞[; • Consequentemente, f é positiva em R;

y = ax

• f (0) = 1; • f é injetiva; •

b

lim ax = +∞ e lim ax = 0;

x→−∞

1/a b

• y = 0 é assíntota horizontal quando x → +∞; x→+∞

1

−1 0

• f é decrescente em R.

x

Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/explogvideo1 ao vídeo de exposição da presente

secção.

Condições com exponenciais Para resolver condições que envolvam a função exponencial devemos ter em conta os seguintes factos: • ax1 = ax2 ⇔ x1 = x2 para a ∈ R+ \ {1}; • ax1 < ax2 ⇔ x1 < x2 para a > 1; • ax1 < ax2 ⇔ x1 > x2 para 0 < a < 1. Para aplicar estas regras, utilizamos frequentemente as propriedades das potências: 2. an × bn = (ab)n an  a n 5. n = b b

1. an × am = an+m 4.

an am

= an−m

7. a−n =

1 1 ; a−1 = an a

Exemplo: 23x = 82 ⇔ 23x = 23


2

3. (an )m = an×m √ √ 1 n 6. a m = m an ; a 2 = a

⇔ 23x = 26 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2.

4.4 Exercícios de desenvolvimento resolvidos

133

Problema resolvido 4.7

O conjunto solução da equação ln(x − 3) + ln(x − 1) = 3 ln 2 é: (A) {6} (B) {−1, 5} (C) {1, 3}

(D) {5}

Resolução:

O domínio da condição é D = {x ∈ R : x − 3 > 0 ∧ x − 1 > 0} =]3, +∞[. ln(x − 3) + ln(x − 1) = 3 ln 2 ⇔ ln ((x − 3) (x − 1)) = ln 23

loga x + loga y = loga (xy); n log a x = loga xn

⇔ x2 − x − 3x + 3 = 8 ∧ x ∈ D

Propriedade 4.5

⇔ x2 − 4x − 5 = 0 ∧ x ∈ D ⇔ (x = −1 ∨ x = 5) ∧ x ∈ D ⇔ x = 5. Deste modo temos S = {5} e podemos concluir que a opção correta é a (D).

Problema resolvido 4.8

1 A expressão ln m − 2 ln n é equivalente a: 3 √    3 m 1 (A) ln (B) ln m − 2n n2 3

(C) ln

√ 3

m−n

2

Resolução: 1 1 ln m − 2 ln n = ln m 3 − ln n2 3




(D) ln

n loga x = loga xn

1

m3 = ln 2 n

loga x − loga y = loga

√ 3 m = ln 2 . n

a3 =

1

√ n

x y

a

Podemos concluir que a opção correta é a (A).

4.4 Exercícios de desenvolvimento resolvidos Problema resolvido 4.9 — Vídeo disponível em bit.ly/logexpvideo7

Partindo do gráfico da função definida por y = 3x descreva como pode obter o gráfico das funções seguintes e represente-os:



m3 √ n



4.4 Exercícios de desenvolvimento resolvidos

165

4.21.2 Para determinar um peso aproximado de um elefante com 5 anos de vida basta calcular

W (5) = 2600 1 − 0, 51 × e−0.075×5


3

≈ 712.32.

Problema resolvido 4.23

A Lei de Arrefecimento de Newton diz que a temperatura T de um corpo pode ser expressa em função do tempo t em minutos por T (t) = Ta + be−kt onde Ta é a temperatura do meio ambiente, e k e b são constantes relativas ao corpo. 4.23.1 Considere que um objeto metálico é aquecido a 100◦ e colocado num recipiente de água

que é mantida a uma temperatura constante de 80◦ . Ao fim de 3 minutos a temperatura do objeto metálico diminuiu para 85◦ .

2 ln 2. 3 (b) Determine, com aproximação às décimas, a temperatura do objeto metálico ao fim de 10 minutos. (a) Mostre que b = 20 e que k =

(c) Determine, com aproximação aos segundos, a partir de que instante o objeto metálico

fica a uma temperatura inferior a 81◦ . (d) O gráfico de y = T (t) admite uma única assíntota horizontal para t ≥ 0.

Conjeture a sua equação com recurso à calculadora gráfica e interprete o seu significado no contexto do problema.

4.23.2 O Charles foi encontrado morto na sala do seu apartamento às 22 h.

O detetive Max chegou ao local às 22h30m e mediu de imediato a temperatura do corpo: 29◦ C. Uma hora depois, a temperatura do corpo era de 22◦ C. Observou-se também que a temperatura da sala se manteve à temperatura constante de 18◦ C. Sabendo que a temperatura média do corpo humano é de 36.5◦ C, a que horas ocorreu a morte de Charles? Apresente o resultado em horas e minutos arredondados às unidades. Resolução: 4.23.1 (a) Como a temperatura ambiente é Ta = 80◦ C, a temperatura do objeto metálico é

◦ 100 e 85◦ C ao fim de  3 minutos, então temos  C no instante inicial   T (0) = 100 80 + be0 = 100 b = 20 b = 20 ⇔ ⇔ ⇔ T (3) = 85 80 + be−3k = 85 20e−3k = 5 e−3k = Como 1 1 2 1 1 k = − ln = ln 4 = ln 22 = ln 2 3 4 3 3 3 2 então está provado que k = ln 2 e que b = 20. 3

1 4

⇔



b = 20 k = − 13 ln 14

5. Limites e continuidade

5.1 Definição de limite Definição 5.1 — Definição de limite de uma função segundo Heine

Seja f uma função real de variável real de domínio Df e a ∈ R, a = +∞ ou a = −∞.

Diz-se que lim f (x) = b se e só se para toda a sucessão (un ), de termos pertencentes a Df , x→a

que tenda para a a sucessão f (an ) tende para b. Note-se que b ∈ R, b = +∞ ou b = −∞.

Teorema 5.1 — Existência de limite

Seja f uma função real de variável real de domínio Df e a ∈ R, a = +∞ ou a = −∞. Então lim f (x) = b se e só se os limites laterais existirem e x→a

lim f (x) = lim f (x) = b.

x→a−

x→a+

Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/contvideo1 ao vídeo de exposição da presente

secção.

Propriedades operatórias dos limites Proposição 5.2 — Propriedades operatórias dos limites

Sejam f e g duas funções reais de variável real tais que lim f (x) e lim g(x) são finitos e a é x→a

x→a

5.6 Exercícios de escolha múltipla resolvidos y

179

y f

2

2 g

0

1

x

x

0 −1

Figura 5.3: Gráficos com assíntotas paralelas aos eixos.

Definição 5.6 — Assíntotas oblíquas

A reta de equação y = mx + b é assíntota oblíqua do gráfico de f se lim [f (x) − (mx + b)] = 0 ou

x→+∞

lim [f (x) − (mx + b)] = 0.

x→−∞

Se y = mx+ b é a equação de uma assíntota oblíqua do gráfico de f deduz-se da sua definição que:   f (x)    m = lim f (x)  m = lim x→−∞ x x→+∞ x ou    b = lim [f (x) − mx]  b = lim [f (x) − mx] x→+∞

x→−∞

y f

x

0

Figura 5.4: Ilustração do conceito de assíntota oblíqua quando x → +∞.

Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/contvideo8 ao vídeo de exposição da presente

secção.

5.6 Exercícios de escolha múltipla resolvidos Problema resolvido 5.1

Considere as funções reais de variável real f e g tais que f (x) = π 3 e g(x) = lim

f (x) é: g (x)

(A)

π4 4

x→4

(B) 4π

(C) 4π 4

Resolução:

As regras operatórias da Proposição 5.2 asseguram-nos os cálculos seguintes:

16π . O valor de x

(D) 4π 2

180

Capítulo 5. Limites e continuidade

lim f (x) lim π 3 f (x) π2 π3 4 x→4 x→4 3 lim = = = . = π × = π π x→4 g (x) lim g(x) π 4 lim 4 x→4 x→4 x Deste modo podemos concluir que a opção correta é a (A).

Problema resolvido 5.2

Considere a função real de variável real definida em R por f (x) =   1 Seja {un } a sucessão definida por un = f 2 + . n Qual das seguintes sucessões define un ? 6n + 2 2 1 (A) (B) −6 − (C) 2 + n n n

(

se x ≤ 2

−4x + 2

se x > 2

−2x − 2

(D) −6 −

.

2 n

Resolução:

1 1 Como numa sucessão n ∈ N então > 0 ⇒ 2 + > 2 para todo o n ∈ N. n n    2 1 2 1 = −2 2 + − 2 = −4 − − 2 = −6 − . Deste modo un = f 2 + n n n n Deste modo podemos concluir que a opção correta é a (D).

Problema resolvido 5.3

y

Na figura está representada parte da representação gráfica de uma função f cujo domínio é R \ {1}. As retas de equações x = 1 e y = 2 são assíntotas do gráfico de f . Seja {xn } a sucessão de termo geral xn = 5 − n3 . Indique o valor de lim f (xn ).

f 2 0

(A) −∞

(B) 1

(C) 2

Resolução:

Pela Definição de limite segundo Heine (Definição 5.1), como
lim xn = lim 5 − n3 = 5 − (+∞)3 = −∞

então

lim f (xn ) = lim f (x) = 2. x→−∞

Deste modo podemos concluir que a opção correta é a (C).

1

(D) +∞

x

5.7 Exercícios de desenvolvimento resolvidos

233

5.40.3 Os pontos de R2 em que a ordenada é metade da abcissa são os pontos da reta de equação

x x y = . Deste modo, pretendemos resolver graficamente a equação f (x) = . 2 2 Nos gráficos seguintes, obtidos através da calculadora gráfica, estão representados parte do x gráfico da função definida por y = f (x) em [2, +∞[ e a reta de equação y = . 2 y

f 4.68 4

A b

b

O

2

9.34

x

Uma vez que o gráfico da função definida por y = f (x) em [2, +∞[ e a reta de equação y = intersetam-se no ponto A(9.34, 4.68) podemos concluir que este é o ponto pretendido.

x 2

Problema resolvido 5.41

Seja f a função, contínua em ] − ∞, 2[, definida por  √ 3 x2 + 1 + ln(2 − x)2     2−x f (x) =  x    ln(kx + 2) − x − ln(2)e ekx − 1

se x ≤ 0 se 0 < x < 2

onde k é uma constante real. Resolva os itens 5.41.1 e 5.41.2 sem recorrer à calculadora. Resolva o item 5.41.3 recorrendo à calculadora apenas para efetuar eventuais cálculos numéricos. 5.41.1 Mostre que k = −1. 5.41.2 Estude a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico. 5.41.3 Prove que a reta de equação f (x) = e interseta o gráfico de f num ponto com abcissa

no intervalo ]0, 1[. Resolução:

Capítulo 5. Limites e continuidade

240

Problema proposto 5.4

Na figura ao lado está representado parte do gráfico da x2 função definida por f (x) = x +1 e um retângulo [ABCD]. 2 Sabendo que A e D têm abcissa 3, B e C têm abcissa a > 3 e que B e D pertencem ao gráfico de f podemos concluir que a área do retângulo [ABCD] quando a tende para +∞ é: (A) 5 (B) 12 (C) 3

y

D

C

b

b

b

b

A

B

3

a

f

(D) +∞

0

x

Problema proposto 5.5

Os valores reais de a e b para os quais o Teorema de  1 − eax      ebx − 1 a+b f (x) =   3    x +2 x+1

Bolzano é aplicável à função definida por

(A) a = 4, b = −2

(B) a = −2, b = 4

(C) a = 0, b = 1

(D) a = 1, b = 0

se x < 0 se x = 0 se x > 0

no intervalo [−1, 1] são:

Problema proposto 5.6

Na figura ao lado está representado parte do gráfico da função f . Com base no gráfico pode afirmar que:   2 (A) lim [f (x) − x − 1] = 0 e lim f (x) − x = 2 x→−∞ x→+∞ 3

4

y b

2 1

f (x) −5 −4 −3 −2 −1 0 1 =1 −1 x   −2 2 (C) lim f (x) = −∞ e lim f (x) − x = −2 −3 x→+∞ 3 x→1− −4   2 −5 (D) lim f (x) + x − 2 = 0 e lim [f (x) − x − 1] = 0 x→−∞ x→+∞ 3 (B) lim f (x) = 4 e x→1

lim

x→−∞

Problema proposto 5.7

f (x) + 3x = 1 qual das retas pode ser assíntota do gráfico de f ? x (A) y = x + 2 (B) y = 3 − 3x

Se lim

x→+∞

(C) y = 1

(D) y = −2x + 2

f

3

2

3

4

5

6

x

6. Derivadas

6.1 Taxa média de variação A taxa média de variação de uma função real de variável real f no intervalo [a, b] é dada por tmv[a,b]

f (b) − f (a) = . b−a

Em termos físicos, a taxa média de variação corresponde, em linguagem corrente, à velocidade média de f em [a, b]. Em termos gráficos, corresponde ao declive da reta secante ao gráfico da função nos pontos de abcissas a e b.

y f f (b) f (a)

0

b b

a

b

x

Figura 6.1: Reta secante ao gráfico de f .

Exemplo: Dada a função definida por f (x) = x2 − 4 a taxa média de variação de f no intervalo

[0, 2] é dada por

tmv[0,2] =

f (2) − f (0) 0 − (−4) = = 2. 2−0 2−0

Em termos gráficos significa que o declive da reta secante ao gráfico de f nos pontos (0, f (0)) e (2, f (2)) tem declive 2. Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/derivvideo1 ao vídeo de exposição da presente

secção.

254

6.9

Capítulo 6. Derivadas

Exercícios de escolha múltipla resolvidos 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Problema resolvido 6.1

A figura ao lado representa um reservatório com quatro metros de altura. Considere que, inicialmente, o reservatório está cheio de água e que, num certo instante, se abre uma válvula e o reservatório começa a ser esvaziado. O reservatório fica vazio ao fim de doze horas. Admita que a altura, em metros, da água no reservatório, t horas 3m após este ter começado a ser esvaziado, é dada por −1 10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 h(t)  −2 t  −3  4− se 0 ≤ t < 3 −4 3 f (t) = −5 14t − 168   −6 se 3 ≤ t ≤ 12 3t − 51 6.1.1 Qual é a variação da altura da água no tanque (em metros) entre o instante inicial e após as 4 horas? 4 112 44 (C) 12 (A) (B) − (D) − 3 39 39 6.1.2 Qual é a variação média da altura da água no tanque (em metros) entre o instante inicial e após as 4 horas? 4 11 44 (C) −12 (A) − (B) − (D) − 3 39 39 6.1.3 Podemos afirmar que no intervalo [0, 4] a altura da água (A) diminuiu a uma velocidade de aproximadamente 0.28 m/s (B) aumentou 3 metros (C) diminuiu a uma velocidade média de aproximadamente 0.28 m/s (D) diminui de uma forma cada vez mais lenta Resolução: 6.1.1 A variação da altura da água no tanque (em metros) entre o instante inicial e após 4 horas

é dada por h(4) − h(0) =

14 × 4 − 168 112 112 156 44 −4= −4= − =− . 3 × 4 − 51 39 39 39 39

Podemos concluir que a altura da água diminuiu

44 e que a opção correta é a (D). 39

6.1.2 A variação média da altura da água no tanque (em metros) entre o instante inicial e após 4 horas é dada por 44 − 44 1 11 h(4) − h(0) = 39 = − × = − . 4−0 4−0 39 4 39 11 m/s e que a opção Podemos concluir que a altura da água diminuiu a uma taxa média de 39 correta é a (B).

272

Capítulo 6. Derivadas

Como f ′ (1) = 7 então f é derivável no ponto 1. Pelo teorema da derivabilidade e continuidade podemos concluir que f é contínua no ponto 1.

Problema resolvido 6.22 — Vídeo disponível em bit.ly/derivvideo24

f (x) − f (a) = 6 e f (a) = 4. x→a x−a

Uma função real de variável real f satisfaz lim Qual é o valor de lim f (x)? x→a

Resolução:

f (x) − f (a) = 6 então f ′ (a) = 6. Consequentemente, pelo teorema da derivabilix→a x−a dade e continuidade podemos concluir que f é contínua no ponto 1.

Como lim

Sabemos que f é contínua no ponto a se e só se lim f (x) = f (a). Como por hipótese f (a) = 4, x→a

podemos concluir que lim f (x) = 4. x→a

Problema resolvido 6.23 — Vídeo disponível em bit.ly/derivvideo25

Considere a função real de variável real f definida por f (x) =



3x − 1 se x ≤ 1 x2 + 1 se x > 1

Mostre que f é contínua no ponto 1 e, no entanto, não tem derivada neste ponto. Resolução:

Sabemos que f é contínua no ponto 1 se lim f (x) = f (1). x→1

lim f (x)= lim (3x − 1) = 2 = f (1).

x→1−

x→1−

lim f (x)= lim

x→1+

x→1+


x2 + 1 = 2.

Deste modo, podemos concluir que lim f (x) = f (1) e que f é contínua no ponto 1. x→1

Estudemos agora a existência de f ′ (1). O ponto de abcissa 1 é um ponto de transição de ramos, uma vez que f está definida à esquerda de 1 por uma expressão diferente da que define f à direita de 1. Por este motivo, temos que determinar as derivadas laterais f ′ (1− ) e f ′ (1+ ) para estudarmos a existência de f ′ (1). f ′ (1− ) = lim

f (1 + h) − f (1) h

= lim

3(h + 1) − 1 − 2 h

h→0−

h→0−

f (x) = 3x − 1 ⇒ f (1 + h) = 3(1 + h) − 1

6.10 Exercícios de desenvolvimento resolvidos +

297

+ b

−1

b

−

1

Vamos agora estudar a existência de assíntotas horizontais do gráfico de f . 1 1 lim e x2 −1 = e +∞−1 = e0 = 1; x→+∞

1

1

lim e x2 −1 = e +∞−1 = e0 = 1.

x→−∞

Podemos concluir que a reta de equação y = 1 é a única assíntota horizontal do gráfico de f . 6.33.6 Comecemos por determinar o domínio onde as expressões que constam na inequação

ln

f (x) 1

e x−1

> 0 são válidas: D = {x ∈ R :

f (x) 1

e x−1

> 0 ∧ x ∈ R \ {−1, 1} ∧ x 6= 1} = R \ {−1, 1}.

1 1 − >0 ∧ x∈D 2−1 x x − 1 e 1 x+1 1−x−1 −x ⇔ 2 − 2 >0∧x∈D ⇔ >0∧x∈D ⇔ 2 >0∧x∈D 2 x −1 x −1 x −1 x −1 ln

f (x) 1 x−1

1

1

> 0 ⇔ ln e x2 −1 − ln e x−1 > 0 ⇔

Vamos prosseguir com o estudo do sinal da função definida por y =

x −x x2 − 1 −x x2 −1

−∞

+ + +

−1 + 0 ND

+ − −

0 0 − 0

− − +

1 − 0 ND

−x x2 −1

+∞ − + +

numa tabela.

y = −2x b 0 −

+

y = x2 − 1 + + b

b

−1 − 1

Podemos concluir que o conjunto solução da equação é S =] − ∞, −1[∪]0, +∞[\{1}.

Problema resolvido 6.34

Seja f a função real de variável real derivável em R e definida por  ax+2 e se x < 1 f (x) = x se x≥1 eb + a ln x onde a e b são constantes reais com a 6= 0. 6.34.1 Determine a e b. 6.34.2 Caracterize f ′ . 6.34.3 Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1.

6.10 Exercícios de desenvolvimento resolvidos

303

Problema resolvido 6.36

Na figura está representado, num referencial cartesiano Oxy, parte do gráfico da função definida ln x + 3x por f (x) = e os triângulos [ABC] e [CDE] tais que: x y • o ponto A tem coordenadas (2, 0); E • o ponto B tem coordenadas (4, 0); b

• o ponto C pertence ao gráfico de f e tem de abcissa a, onde a ∈]0, +∞[;

f

• o ponto B tem coordenadas (2, 0);

D b

b

C

• o ponto D pertence ao eixo Oy e tem a mesma ordenada que C; Oa

• o ponto E tem coordenadas (0, 6).

b

b

A

B

x

6.36.1 Mostre que as áreas dos triângulos [ABC] e [CDE] são dadas, em função de a, por

A[ABC] = f (a) e A[CDE] =

a(6 − f (a)) . 2

6.36.2 Mostre analiticamente que existe um valor de a no intervalo ]1, 3[ para o qual os triân-

gulos [ABC] e [CED] têm áreas iguais e, recorrendo à calculadora gráfica, determine a sua aproximação às centésimas. 6.36.3 Calcule

lim f (a) e interprete o valor obtido no contexto do gráfico de f e da área do

a→+∞

triângulo [ABC]. 6.36.4 Determine, recorrendo a processos exclusivamente analíticos, o valor de a para o qual a

área do triângulo [ABC] é máxima. Determine o valor máximo da área. Resolução: 6.36.1 As áreas dos triângulos [ABC] e [CDE] são dadas em função de a por:

A[ABC] =

AB × f (a) 2f (a) = = f (a) 2 2

e

A[CDE] =

CD × DE a(6 − f (a)) = . 2 2

6.36.2 Para as áreas serem iguais tem que se verificar a seguinte igualdade:

f (a) =

a(6 − f (a)) a(6 − f (a)) ⇔ f (a) − = 0. 2 2

a(6 − f (a)) . 2 Provar o que é pedido equivale a provar que g tem pelo menos um zero em ]1, 3[. f é contínua em ]0, +∞[ por ser a soma e quociente de funções contínuas. Como g é a diferença, produto e divisão de funções contínuas então também é contínua em ]0, +∞[. Seja g a função definida por g(a) = f (a) −

6.12 Exercícios de desenvolvimento propostos

311

Problema proposto 6.18

Uma catenária é a forma que um cabo assume quando é suportado pelas suas pontas e sofre apenas a ação do seu peso. Uma força aplicada em qualquer ponto da curva é dividido igualmente por toda a curva. Por esse motivo é usada desde a antiguidade para a construção de arcos nos monumentos. Atualmente é especialmente utilizada na engenharia civil e na arquitetura. A figura seguinte mostra o arco de Saint Louis nos Estados Unidos que representa uma catenária invertida quase perfeita. Considere que os pontos de ordenada não negativa do gráfico da função definida por x! x − f (x) = −20 e 40 + e 40 + 230 num referencial ortonormado representam o arco, com as unidades em metros. 6.18.1 Sabendo que o eixo dos xx representa o solo, utilize as potencialidades da calculadora gráfica para obter, com aproximação às décimas, o domínio da função no contexto do problema e o gráfico de f . 6.18.2 Determine, com base na alínea anterior, a distância entre os dois “pés” do arco com

aproximação às décimas. 6.18.3 Determine, por processos exclusivamente analíticos, o máximo absoluto de f e interprete

o valor obtido no contexto do problema. Problema proposto 6.19

Seja g a função real de variável real definida por  1  g (x) = xe x se x < 0  x e − 1 se x ≥ 0

6.19.1 Mostre que g é contínua para x = 0 e não tem derivada neste ponto. 6.19.2 Caracterize g ′ . 6.19.3 Estude g quanto ao sentido de variação. 6.19.4 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1. 6.19.5 Calcule lim

x→1

g(x) [g(x) − g(1)] . x−1

Problema proposto 6.20

Uma determinada espécie de animais de um jardim zoológico foi afetada por uma virose. O número de animais afetados t dias após a deteção é dado por N (t) =

2000 . 2 + 18e−0.5t

7. Trigonometria

7.1 Razões trigonométricas de um ângulo agudo Consideremos um triângulo ∆ABC, retângulo em C, com BC = a, AC = b e AB = c representado na Figura 7.1. B

c

a

α C

b

A

Figura 7.1: Triângulo retângulo [ABC].

Sendo α a amplitude do ângulo formado pelos lados [AC] e [AB], definem-se as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de α do modo seguinte: a medida do cateto oposto = medida da hipotenusa c b medida do cateto adjacente = cos α = medida da hipotenusa c a senα medida do cateto oposto = = . tg α = medida do cateto adjacente b cos α sen α =

Dica para decorar as fórmulas: SOHCAHTOA. SOH designa “Seno igual a Oposto sobre Hipotenusa”; CAH designa “Cosseno igual a Oposto sobre Hipotenusa”; TOA designa “Tangente igual a Oposto sobre Adjacente”.

Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/trigvideo1 ao vídeo de exposição da presente secção.

336

Capítulo 7. Trigonometria y

Problema resolvido 7.6

Na figura ao lado está representado num referencial ortonormado xOy o trapézio [ABCD] inscrito no circulo trigonométrico tal que:

B b

b

π 2

• o ângulo de amplitude α pertence ao 1.◦ quadrante; • o ponto A é o ponto de interseção do lado extremidade do ângulo de amplitude π2 − α com o círculo trigonométrico;

O C

A −α

b

b

1x

D

• o ponto B é simétrico de A relativamente ao eixo dos yy; • o ponto D é o ponto de interseção do lado extremidade do ângulo de amplitude −α com o círculo trigonométrico; • o ponto C é simétrico de D relativamente ao eixo dos yy. Qual das seguintes expressões dá a área do trapézio [ABCD] em função de α? (A) 1 + sen(2α)

(B) 1 − sen(2α)

(C) senα + 2 cos α

(D) senα + tgα

Resolução:

De acordo com as definições de seno e co-seno de um ângulo (Definição 7.3) temos  π   π − α , sen − α = (senα, cos α) A cos 2 2

e D (cos (−α) , sen (−α)) = (cos α, −sen α). Consequentemente B (−senα, cos α) e C (− cos α, −sen α). Como α pertence ao 1.◦ quadrante então cos α > 0 e senα > 0. Assim, pela fórmula da área do trapézio temos A[ABCD] =

CD + AB B+b ×h= ×h 2 2 cos α − (− cos α) + senα − (−senα) = × (cos α − (−senα)) 2 = (cos α + senα)2 = cos2 α + 2sen α cos α + sen 2 α = 1 + sen(2α).

sen 2 α + cos2 α = 1;

2 sen α cos α = sen (2α)

Podemos concluir que a opção correta é a (A).

Problema resolvido 7.7

√ 5 Seja f uma função definida por f (x) = ecos x e g uma função tal que g(π) = π e g′ (π) = −2e 3 . 6 Então (f ◦ g)′ (π) é: √ √ − 3 3 3 3 (A) (B) e 2 (C) − (D) e 2 2 2

Resolução:

O Teorema da derivada da função composta (Teorema 6.4) garante-nos que (f ◦ g)′ (π) = g′ (π) × f ′ (g(π)).

Capítulo 7. Trigonometria π   π ⇔ sen + x = sen − 4 4

386

⇔

 π π π π + 2kπ, k ∈ Z + x = − + 2kπ ∨ + x = π − − 4 4 4 4

⇔x=− Podemos assim concluir que

ver (7.15)

π + 2kπ ∨ x = π + 2kπ, k ∈ Z 2

o n π S = − + 2kπ, π + 2kπ|k ∈ Z . 2

Problema resolvido 7.47 — D elevada Vídeo disponível em bit.ly/trigvideo42 

√

π + x para x ∈ [0, 2π]. 4 7.47.1 Prove que o gráfico de f interseta o eixo das abcissas.

Seja f a função definida por f (x) =

2sen x −

7.47.2 Prove que f ′′ (x) = cos x − sen x. 7.47.3 Determine os pontos de inflexão do gráfico de f . Resolução: 7.47.1 As abcissas dos pontos de interseção do gráfico de f com o eixo das abcissas são os zeros

de f . Como

 π +x=0 2sen x − 4 não dá para resolver algebricamente vamos recorrer ao Teorema de Bolzano. Como √ !  √ √ 2 π f (0) = 2sen 0 − +0 = 2× − = −1 4 2 f (x) = 0 ⇔

e

√

  π √ π + 2π = 2sen − + 2π 2sen 2π − 4 4 √ ! √ 2 = 2× − + 2π = −1 + 2π > 0 2

f (2π) =

√

e f é contínua em [0, 2π] por ser a soma e a composição de funções contínuas podemos concluir pelo Teorema de Bolzano que f tem pelo menos um zero em ]0, 2π[. 7.47.2 Como

f ′ (x) =

√

  ′ √ π π + x = 2 cos x − +1 2sen x − 4 4

390

Capítulo 7. Trigonometria

Para k = 0 e k = 1 temos os primeiros zeros de f e as abcissas dos pontos A e B respetivamente: 0 e π. A área do triângulo é portanto π×1 π base×altura = = . A[ABC] = 2 2 2

Problema resolvido 7.49 — Adaptado de exame

Na figura seguinte está representado a sombreado um polígono [CDEH] tal que

E b

• [ACF G] é um quadrado de lado 1; • CD = DE = 2; > • AHF é um arco de circunferência e o ponto H desloca-se neste arco de tal forma que se verifica sempre que [HB] ⊥ [AC]; • x designa a amplitude em radianos do ânb gulo B CH;

G

F

b

2

b

H b

b

b

x

A B

b

C

b

2

D

7.49.1 Mostre que a área do polígono [CDEH]  é dada em função de x por 

A(x) = senx + cos x + 2 para x ∈ 0, π2 .

7.49.2 Determine o valor de x para o qual a área é máxima. Calcule o valor da área máxima. 7.49.3 Calcule A(0) e A

π 2




e enquadre os valores obtidos no contexto do problema.

Resolução: 7.49.1 Vamos determinar a área do polígono [CDEH] através da seguinte igualdade:

A[CDEH] = A[BDEH] − A[BCH] . Tendo em consideração as definições das razões trigonométricas de um ângulo agudo (ver secção 7.1) temos senx =

BH BH ⇔ senx = ⇔ BH = senx. 1 CH

BC BC ⇔ BC = cos x. ⇔ cos x = 1 CH Deste modo, como [BDEH] é um trapézio temos cos x =

B+b DE + BH ×h= × BD 2 2 4 + 2 cos x + 2sen x + senx cos x 2 + senx × (2 + cos x) = . = 2 2

A[BDEH] =

8. Complexos

8.1 Forma algébrica de números complexos Um número complexo é da forma x + yi, x ∈ R, y ∈ R e i = O conjunto de todos os números complexos é

√

−1 é a unidade imaginária.

C = {x + yi | x ∈ R, y ∈ R}. √ Como i = −1 então i2 = −1. É frequente designar um número complexo por uma letra, sendo z a mais utilizada. Seja z = x + yi um complexo na sua forma algébrica. Então: • x é parte real de z e escreve-se Re(z) = x; • y é o coeficiente da parte imaginária de z e escreve-se Im(z) = y; • yi é parte imaginária de z; • z = x − yi é o conjugado de z. • z é imaginário puro se Re(z) = 0 e Im(z) 6= 0. Note-se que z é real se y = 0. Por este motivo temos R ⊆ C e C contém todos os conjuntos numéricos apresentados até ao ensino secundário: N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C. Exemplo: Dados z1 = 3 + 4i, z2 = −6 − 8i, z3 = 3 e z4 = −5i então

z1 = 3 − 4i, z2 = −6 + 8i, z3 = 3 e z4 = 5i. Re (z1 ) = 3, Im (z1 ) = 4 e 4i é a parte imaginária de z1 .

Capítulo 8. Complexos

402

Proposição 8.1 — Igualdade de complexos

Dados dois números complexos a + bi e c + di temos a + bi = c + di ⇔ a = c ∧ b = d. Exemplo: Dados os complexos z1 = 4a − 3i e z2 = 5 + bi, temos

z1 = z2 ⇔ 4a − 3i = 5 + bi ⇔ 4a = 5 ∧ −3 = b ⇔ a =

5 ∧ b = −3. 4

Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/complexosvideo1 ao vídeo de exposição da presente

secção.

8.2

Representação geométrica de números complexos

No plano complexo, o ponto P (a, b) é designado por afixo ou imagem geométrica do número −− → complexo z = a + bi. O vetor OP é designado por imagem vetorial de z. Im

b b

0

a

P (a, b) Re

Figura 8.1: Afixo e imagem vetorial de z = a + bi.

Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/complexosvideo2 ao vídeo de exposição da presente

secção.

8.3

Operações com números complexos

Considerem-se z1 = x1 + y1 i e z2 = x2 + y2 i. Definimos as operações habituais no conjunto C com: • adição: z1 + z2 = (x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) i; • subtração: z1 − z2 = (x1 + y1 i) − (x2 + y2 i) = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 ) i; • multiplicação: z1 × z2 = (x1 + y1 i) × (x2 + y2 i) = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 − x2 y1 ) i; • divisão:

z1 z¯2 x1 x2 + y 1 y 2 x2 y 1 − x1 y 2 z1 = = + i; z2 z2 z¯2 x2 2 + y 2 2 x2 2 + y 2 2

• potenciação: i0 = 1; i1 = i; i2 = −1; i3 = −i. As potências de base i repetem-se de 4 em 4. Se n = 4q + r, n ∈ N então in = ir .

414

Capítulo 8. Complexos

π e i2 3 √ (C) 1 − 3i e i2 (A) 2cis

√

(B) − 3 − 2i e i (D) 2 cos

π e0 6

Resolução:

Um número é raiz ou zero da equação se satisfizer a equação. Uma das técnicas mais acessíveis para encontrar a opção correta√é experimentar as opções até encontrar a opção correta. √ No que se segue verificamos que 1 − 3i e i2 = −1 são raízes da equação. Substituindo 1 − 3i na equação vem:   √ 3  √ 2 √  1 − 3i = 1 − 3i − 2 1 − 3i − 4  √ 2  √ √  √ √ 2  ⇔ 1 − 3i × 1 − 3i = 1 − 2 3 + − 3i − 2 + 2 3i − 4    √ √  √ √ ⇔ 1 − 2 3i − 3 × 1 − 3i = 1 − 2 3 − 3 − 6 + 2 3i  √   √  ⇔ −2 − 2 3i × 1 − 3i = −8   √ √ ⇔ −2 + 2 3i − 2 3i + 6i2 = −8 ⇔ −8 = −8.

No caso de −1 temos (−1)3 = (−1)2 − 2 × (−1) − 4 ⇔ −1 = −1. Podemos concluir que a opção correta é a (C).

Problema resolvido 8.8

Na figura em baixo, está representado, no plano um pentágono que tem como vértices  complexo,  2π os afixos das raízes índice 4 do complexo cis − e de um complexo w. 3 Im

Sabe-se que:

z1

• o ponto O é a origem do referencial;

z2

w

• o quadrilátero que tem como vértices O e os afixos de z0 , z1 e w é um quadrado.

O

Qual das afirmações seguintes é verdadeira? π √ (A) w = 2cis 12 π (C) w = cis 12 Resolução:

Re z0

z3 (B) w = z1 + z2 (D) w =

√

π 2 cis 2 12

Pela observação da figura podemos concluir de imediato que w = z0 + z1 (ver Figura 8.2). A opção (B) fica portanto excluída. De acordo com a Proposição 8.8 sendo z = ρcis θ um número complexo não nulo e n ∈ N, as n

8.8 Exercícios de desenvolvimento resolvidos Im z2

z1 √ 5

z3

0

3 Re

z0 z4

Problema resolvido 8.24 — Vídeo disponível em bit.ly/complexosvideo16

Represente por uma condição em C cada uma das seguintes regiões: 8.24.1

8.24.2

5 Im 44 33 22 11

−5 −4 −3 −2 −1 −1 −1 −2 −2 −3 −3 −4 −4 −5 8.24.3

Re 1 2 3 4 5

5 Im 44 33 22 11

6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −1 −2 −2 −3 −3 −4 −4 −5 b b

b b

−5 −4 −3 −2 −1 −1 −1 −2 −2 −3 −3 −4 −4 −5 8.24.4

b b

Re 1 2 3 4 5

5 Im 44 33 22 11

b

Re 1 2 3 4 5 b b

5 Im 44 33 22 11

6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −1 −2 −2 −3 −3 −4 −4 −5

Re 1 2 3 4 5

433

9. Geometria analítica no plano e no espa

9.1 Problemas resolvidos Problema resolvido 9.1 No referencial ortonormado xOy da seguinte figura estão representadas uma circunferência e três retas. y

Sabe-se que: • a circunferência é centrada no ponto A(−4, −2) e é tangente ao eixo dos xx;

s

3 π; 4 • a reta s é perpendicular à reta r e contém o ponto A;

• a reta r passa na origem e tem inclinação

• a reta t é horizontal e tangente à circunferência;

• o ponto B resulta da interseção entre as retas r e t.

3 4π b

x

b

0 A

r t

b

B

9.1.1 Determine as equações reduzidas das retas r, s e t. 9.1.2 Determine a equação cartesiana da circunferência. 9.1.3 Represente por uma condição a área sombreada. 9.1.4 Determine a equação reduzida da mediatriz de [AB]. 9.1.5 Determine a amplitude do ângulo formado pelas retas r e t. Resolução:
9.1.1 Como a inclinação da reta r é 34 π então o seu declive é m = tg 43 π = −1 (ver Nota teórica 2). Deste modo a equação reduzida da reta r é da forma y = −x + b com b ∈ R (ver Nota teórica 1). Como

460

Capítulo 9. Geometria analítica no plano e no espaço

o ponto (0, 0) lhe pertence vem 0 = −0 + b ⇔ b = 0 e podemos concluir que a equação reduzida da reta r é y = −x. Como a reta s é perpendicular à reta r o seu declive é m⊥ = 1 e podemos concluir que a sua equação reduzida é da forma y = x + b com b ∈ R. Substituindo o ponto A(−4, −2) vem −2 = −4 + b ⇔ b = 2 e podemos concluir que a sua equação reduzida é y = x + 2. A equação reduzida da reta t é y = −4 porque é horizontal e contém o ponto (−4, −4). Nota teórica 1 — Equação reduzida da reta A reta que contém os pontos do plano A(x1 , y1 ) e B(x2 , y2 ) é definida pela condição y − y1 = m(x − x1 ) y2 − y1 . x2 − x1 Se escrevermos esta equação na forma y = mx + b obtemos a equação reduzida da reta onde m é denominado por declive e b por ordenada na origem. onde m =

Nota teórica 2 — Inclinação de uma reta Consideremos uma reta r no plano. Dá-se o nome de inclinação da reta r ao menor ângulo não negativo que a reta faz com o semi-eixo positivo das abcissas. Se m é o declive de uma reta, a amplitude α da inclinação verifica a relação tgα = m com 0◦ ≤ α < 180◦ . Na figura seguinte estão representadas duas retas r e s com inclinações de 30◦ e 120◦ respetivamente. y s

r 120◦

30◦

0

9.1.2 Como o centro da circunferência é o ponto A(−4, −2) e o raio é 2 a sua equação cartesiana é (x − (−4))2 + (y − (−2))2 = 22

⇔(x + 4)2 + (y + 2)2 = 4.

x

Nota teórica 3 — Equação da circunferência A equação cartesiana da circunferência de centro C(a, b) e raio r num referencial ortonormado XOY é (x − a)2 + (y − b)2 = r2 .

9.1.3 A região sombreada está acima ou na reta t, abaixo ou nas retas s e r e no exterior ou na circunferência. Por este motivo é definida por y ≥ −4 ∧ y ≤ x + 2 ∧ y ≤ −x ∧ (x + 4)2 + (y + 2)2 ≥ 4. 9.1.4 A mediatriz de [AB] é uma reta perpendicular à reta AB e que contém o ponto médio de [AB].

460

Capítulo 9. Geometria analítica no plano e no espaço

Nota teórica 6 — Propriedades do produto escalar A partir da definição de produto escalar de dois vetores podemos deduzir algumas das suas propriedades. Consideremos dois vetores não nulos ~u e ~v e recordemos que: ~u · ~v = k~uk × k~v k × cos (~u∧~v ) . Se ~u = ~0 ou ~v = ~0 então ~u · ~v = 0. São válidas as seguintes propriedades: • Se ~u e ~v são vetores colineares então ~u · ~v = k~uk × k~v k se os vetores têm o mesmo sentido e ~u · ~v = − k~uk × k~v k se os vetores têm o sentidos contrários. 2

• ~u · ~u = k~uk .

• Se ~u 6= ~0 ou ~v 6= ~0 então ~u · ~v = 0 ⇔ ~u⊥~v .

• Se ~u · ~v < 0 então ~u∧~v é obtuso e se ~u · ~v > 0 então ~u∧~v é agudo. • ~u · ~v = ~v · ~u, quaisquer que sejam ~u e ~v .

• ∀k ∈ R, (k~u) · ~v = k (~u · ~v ), quaisquer que sejam ~u e ~v .

• ~u · (~v + w) ~ = ~u · ~v + ~u · w ~ quaisquer que sejam ~u, ~v e w. ~

Problema resolvido 9.3 Na figura seguinte está representado num referencial ortonormado Oxyz um cubo de aresta 4 e uma pirâmide quadrangular regular com altura 4. z Sabe-se que: • a base do cubo está centrada em O e que os seus lados são paralelos aos planos coordenados; • os pontos da reta BC têm abcissa 2;

E

b

H

b b

F

b

G

b

2

• os pontos da reta AB têm ordenada −2. B 9.3.1 Determine as coordenadas dos vértices do sólido.

−2 b

A

b

b

b

0 2

b

C

V

D 6

x

9.3.2 Determine as equações cartesianas das retas BH, F H e F G. 9.3.3 Determine uma equação do plano BCH. 9.3.4 Determine uma equação do plano mediador de [GV ]. 9.3.5 Determine os valores reais de p tais que (a) o ponto P (3 − p, 2, 4) pertença ao plano BCH.

(b) o plano de equação −4x + 8y + (−1 + 2p)z − 5 = 0 seja perpendicular à recta GV .

(c) o plano de equação x + (3 + p)z + 1 = 0 seja perpendicular ao plano BCH. x−6 3y − 2 (d) a reta s definida pelas equações = = z seja perpendicular à reta BH. 4 −6p

y

9.1 Problemas resolvidos

461

9.3.6  Calcule os valores de  α ∈ [−π, π[ de modo que o ponto de coordenadas 5 , 0, sen (α − 3π) pertença ao plano BCH. 2 9.3.7 Escreva a equação cartesiana da superfície esférica de diâmetro [EF ].

Resolução: 9.3.1 Temos A(−2, −2, 0), B(2, −2, 0), C(2, 2, 0), D(−2, 2, 0), E(−2, −2, 4), F (2, −2, 4), G(2, 2, 4), H(−2, 2, 4) e V (0, 6, 2). 9.3.2 No que se segue vamos utilizar os conceitos apresentados na Nota teórica 7. Relativamente à reta −−→ BH, como BH = H − B = (−2, 2, 4) − (2, −2, 0) = (−4, 4, 4) então as suas equações cartesianas são y − (−2) z−0 x−2 y+2 z x−2 = = ⇔ = = . −4 4 4 −4 4 4

−−→ Na reta F H, como F H = H − F = (−2, 2, 4) − (2, −2, 4) = (−4, 4, 0) então as suas equações cartesianas são y − (−2) x−2 y+2 x−2 = ∧z =4 ⇔ = ∧ z = 4. −4 4 −4 4 −−→ Na reta F G, como F G = G − F = (2, 2, 4) − (2, −2, 4) = (0, 4, 0) então as suas equações cartesianas são x = 2 ∧ z = 4. Nota teórica 7 — Equações cartesianas da reta no espaço Consideremos a reta que contêm o ponto A(a, b, c) e têm a direção do vetor ~v = (v1 , v2 , v3 ). Se nenhuma das coordenadas do vetor ~v for nula as suas equações cartesianas são y−b z−c x−a = = . v1 v2 v3 Quando apenas uma das coordenadas do vetor é nula temos as seguintes possibilidades: ~v = (0, v2 , v3 ) ~v = (v1 , 0, v3 ) ~v = (v1 , v2 , 0) x−a z−c y−b z−c y−b x−a y =b∧ = x=a∧ = z =c∧ = v1 v3 v2 v3 v1 v2 Nestes casos, a reta é paralela a um dos planos coordenados. Quando duas das coordenadas do vetor são nulas temos: ~v = (0, 0, v3 )

~v = (v1 , 0, 0)

~v = (0, v2 , 0)

x=a∧y =b

y =b∧z =c

x=a∧z =c

Nestes casos, a reta é paralela a um dos eixos coordenados. 9.3.3 Considere a Nota teórica 8. Vamos começar por determinar um vetor ~n = (a, b, c) que seja −−→ −−→ perpendicular aos vetores BC e BH. −−→ Como BC = C − B = (2, 2, 0) − (2, −2, 0) = (0, 4, 0) e −−→ BH = H − B = (−2, 2, 4) − (2, −2, 0) = (−4, 4, 4) então vem (    −−→ ~n · BC = 0 (a, b, c) · (0, 4, 0) = 0 4b = 0 b=0 ⇔ ⇔ ⇔ −−→ (a, b, c) · (−4, 4, 4) = 0 −4a + 4b + 4c = 0 c=a ~n · BH = 0 Podemos concluir que ~n = (a, 0, a) onde a ∈ R \ {0}. Se a = 1 vem ~n = (1, 0, 1) e temos que o plano BCH é da forma x + 0y + z + d = 0 onde d ∈ R.

484

Capítulo 11. Funções Translação vertical: y = f (x) + k y

y

y = f (x) + 2

y = f (−x)

y = f (x + 2)

y = f (x)

Simetria em relação a Ox e a Oy: y = f (−x) e y = −f (x) y

Translação horizontal: y = f (x − k)

y = f (x)

y = f (x) y = f (x − 1)

x

0 y = f (x) − 1

x

0

Dilatação/contração vertical: y = kf (x) y

x

0

y = −f (x)

Dilatação/contração horizontal: y = f (kx) y

y = 2f (x)

Gráfico de y = |f (x)| y

y = f (2x) y = |f (x)|

y = f (x) y=

0

1 2

y = f (x)

f (x)

0

x

y=f



1 2

x

x

0

x 

y = f (x)

Problema resolvido 11.2 — Exame Seja f a função real de variável real cujo gráfico é y

x

0

(A) Um gráfico de y = f (−x) é y

0

(B) Um gráfico de y = −f (x) é y

x

(C) Um gráfico de y = f (−x) é y

0

0

x

(D) Um gráfico de y = −f (x) é y

x

0

x

13.1 Problemas resolvidos

519

esse motivo, começando o primeiro intervalo 1 unidade antes de xmin = 7, vamos ter o limite superior do último intervalo igual a xmax + 1 = 96. Classificação [6, 24[ [24, 42[ [42, 60[ [60, 78[ [78, 96[ Total

fi 3 6 11 7 3 30

Fi 3 9 20 27 30

f ri 0.1 0.2 0.37 0.23 0.1 1

F ri 0.1 0.3 0.67 0.9 1

13.2.2 Nos gráficos seguintes estão representados os histogramas das frequências absolutas (esquerda) e frequências relativas acumuladas (direita).

1

9

Frequência relativa acumulada

Frequência absoluta

12

Polígono das frequências absolutas

6

3

Polígono das frequências relativas acumuladas

0.8 0.75 b

0.6 0.5 b

0.4 0.25 b

0.2

b

6

24

42 Mo60

78

96

b b

6

24 Q1 42 Q2 60 Q3 78 96 Classificações no teste (max 100)

Classificações no teste (max 100)

Podemos observar no gráfico da esquerda que a classe modal é [46, 60[ uma vez que este intervalo corresponde à coluna de maior frequência absoluta. Uma aproximação geométrica para a moda é 53 uma vez que o ponto assinalado no eixo horizontal como Mo localiza-se pouco depois do ponto médio da classe modal. No gráfico da direita podemos observar as seguintes aproximações para os quartis: Q1 ≈ 38, Q2 ≈ 56 e Q3 ≈ 66. 13.2.3

b

6

24

Q1 42

b

Q2

b

60

Q3

78

96

13.2.4 Vamos acrescentar à tabela obtida em 13.2.1 a marca de classe de cada intervalo. Note-se que

14.2 Exame modelo 2

535

14.2 Exame modelo 2 GRUPO I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.

1. Um saco contém cartões com 15 números pares e 18 números ímpares todos distintos. De quantas maneiras se podem selecionar 6 cartões com números pares e 5 cartões com números ímpares, para colocar ao lado uns dos outros, de modo a que os números pares fiquem por ordem crescente (juntos ou separados) e os números ímpares por ordem decrescente (juntos ou separados)? (A) 15 C6 × 18 C5 (B) 33 C11 (C) 15 C6 × 18 C5 × 11 C6 (D) 15 A6 × 18 A5 2. A tabela de distribuição de probabilidades de uma certa variável aleatória X é: xi

−2

−1

0

1

6

P (X = xi )

2b

a

b

3a

b

Qual é o valor do valor médio de X? 1 1 (A) (B) 2 3

(C) 1

(D)

1 4

3. Considere as constantes reais a, b ∈ R+ \ {1} e c ∈ R+ tais que log a c =

1 e c+1

logb c =

3 . c+3

Qual das seguintes expressões é igual a logc a2 − 2 logc b3 ? 1 4 54 (A) 4c + 8 (B) (C) c + 2 − (c + 1)2 (c + 3)3 3

(D) −4

e−n − 2n e a função f de domínio R \ {−2} tal que lim f (un ) = 2. n Qual das seguintes expressões pode ser f (x)?  2 sen (4x + 8) 2 se x < −2 (B) f (x) = (A) f (x) = 2+x −2 se x > −2

4. Considere a sucessão de termo geral un =

(C) f (x) =

3x + 7 − ex+2 x+2

(D) f (x) =

ln(x + 3)2 x+2 y

5. Na Figura 1, está representado num referencial ortonormado xOy parte do gráfico da função definida por y = cos x + 1 e o triângulo [ABC]. Sabe-se que: 1 • os pontos A e B têm ordenadas iguais a ; 2 • a reta AC é normal ao gráfico de f no ponto A;

f B

b

b

π

O

−π

b

• a reta BC é normal ao gráfico de f no ponto B;

C

Qual das seguintes afirmações é falsa?

Figura 1 (A) A área do triângulo [ABC] é   π b (C) tg ABC = 2tg 6

4π 3



√  4 3 1 − π 2 9

−→ − −→ 8 (B) AB · BC = − π 2 9 −→ −→ (D) AB · CA < 0

A x

14.2 Exame modelo 2

537

2.1. Escolhe-se uma caixa aleatoriamente e extraem-se duas bolas. 4 , determine o número de bolas Sabendo que a probabilidade de sairem duas bolas azuis é igual a 15 verdes existentes na caixa 2. 2.2. Considere agora que as bolas da caixa 1 estão numeradas de 1 a 6. Retirando cinco bolas da caixa 1 e dispondo-as, ao acaso, numa fila, a probabilidade de ficarem pelo menos duas bolas verdes por ordem decrescente de numeração (juntas ou separadas) é igual a: 3

C2 × 5 C2 × 3! + 5 C2 × 3 A2 × (3! − 1) . 6A 5

Elabore uma composição na qual explique a expressão apresentada. Na sua resposta: • enuncie a regra de Laplace; • explique o número de casos possíveis; • explique o número de casos favoráveis. 3. Na Figura 3 está representado um modelo que ilustra a posição de um barco num lago e o solo submerso e não submerso envolvente. O barco está equipado com um sensor no ponto P que permite medir a sua distância ao fundo do lago. Admita que os pontos P e Q estão 0.2 m e 0.3 m abaixo do nível da água, respetivamente. 2

y

1

−6

−4

−2

0 −1

b

2

Q

4

b

P

6

8

10

12

14

16

18

20

x

3.9 m

−2

−3

Figura 3 A altitude do solo, em metros, relativamente ao nível da água do lado é modelizada pela função definida por f (x) =

0.5e0.6x − 507 e0.6x + 169

onde x representa a distância à origem do referencial ortonormado utilizado no modelo. Admita que o modelo é válido para x ∈ [−1000, 1000]. 3.1. Determine a distância do ponto Q ao fundo do lago quando a abcissa de P é 6. Apresente o resultado arredondado às décimas. 3.2. Determine os valores para os quais tende a altitude do solo quando as abcissas aumentam ou diminuem muito. Interprete o seu significado no contexto do problema. 3.3. Para o barco ficar atracado em segurança na margem do lago a distância do ponto P ao solo deve ser de pelo menos 0.5 m. Determine os valores das abcissas de P , arredondadas às centésimas, para as quais tal situação se verifica recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta: • reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora, devidamente identificado(s); • indique no(s) gráfico(s) o(s) ponto(s) relevantes para a resolução do problema arredondados às milésimas.