Matem´ atica 12.o / Ensino M´ edio Ficha+Aulas de derivadas

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Vers˜ao de 21 de Mar¸co de 2017. Verifique se existe vers˜ao com data mais recente aqui.

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A Ficha+Aulas de derivadas inclui 9 aulas e 47 exerc´ıcios em v´ıdeo. Todos os direitos de autor est˜ao reservados para o autor Rui Castanheira de Paiva ([email protected]). A ficha tamb´em est´a dispon´ıvel em www.academiaaberta.pt juntamente com conte´ udos interativos e f´orum de tira d´ uvidas. Recomendamos que a utilize de acordo com a seguinte sequˆencia:

de

V´ıdeo da aula → Resolver os exerc´ıcios → Confirmar resultados nos v´ıdeos

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w.

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Para visualizar a resolu¸c˜ao dum exerc´ıcio deve clicar no ´ıcone junto ao mesmo. Os v´ıdeos associados a esta ficha de trabalho tˆ em acesso gratuito e, do ponto de vista pr´ atico, pretendem ser uma introdu¸c˜ ao ao tema abordado. Pode encontrar em bit.ly/compralivrohibrido o livro de 592 paginas: R.C.Paiva. Prepara¸c˜ao h´ıbrida para o exame nacional de matem´atica 2017, Edi¸c˜ao de Autor, 2016. ISBN 10: 98-920-6010-5. Dep´osito legal: M. 398220/16. O objetivo principal desta obra ´e preparar um aluno de forma completa para o exame nacional de Matem´atica A do 12.o ano atrav´es de um livro que acrescenta aos conte´ udos habituais dos livros com o mesmo prop´osito que est˜ao no mercado, resumos te´oricos acompanhados de v´ıdeos tutoriais, exerc´ıcios chave resolvidos passo a passo em v´ıdeo e aplica¸c˜oes dinˆamicas. Todos estes conte´ udos est˜ao acess´ıveis atrav´es de endere¸cos da Internet e de QR Codes. Deste modo, ao apontar a cˆamara de um smartphone ou tablet para as p´aginas do manual impresso visualizam-se v´ıdeos, acede-se a aplica¸c˜oes dinˆamicas e a outros recursos complementares relacionados com o tema abordado.

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O livro acrescenta aos recursos existentes em www.academiaaberta.pt: • Resumos te´oricos acompanhados de v´ıdeos (acess´ıveis por QR Codes);

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• Mais de 200 exerc´ıcios chave resolvidos passo a passo em v´ıdeo e apoiados por aplica¸c˜oes dinˆamicas (acess´ıveis por QR Codes);

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• Mais de 350 exerc´ıcios resolvidos de forma detalhada (10.o , 11.o e 12.o anos);

• Mais de 400 quest˜oes propostas com solu¸c˜oes desenvolvidas (10.o , 11.o e 12.o anos);

de

• Exames-tipo com resolu¸c˜ao;

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• Exames nacionais de 2015 e 2016 com resolu¸c˜ao;

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w.

• Liga¸c˜oes a conte´ udos adicionais dispon´ıveis em www.academiaaberta.pt; • As resolu¸c˜oes dos exerc´ıcios resolvidos num ficheiro PDF online;

• credenciais de acesso aos conte´ udos interativos e multim´edia e instru¸c˜oes de utiliza¸c˜ao de um leitor de QR Codes. Pode ver mais pormenores e adquirir o livro em bit.ly/compralivrohibrido. Pode aceder em bit.ly/livro2017 a um v´ıdeo de apresenta¸c˜ao do livro (apenas 2 minutos). 1

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w.

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de

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AULA 1: Taxa m´edia de varia¸ca˜o

1.1.

.

A figura representa um reservat´orio com trˆes metros de altura. Considere que, inicialmente, o reservat´orio est´a cheio de ´agua e que, num certo instante, se abre uma v´alvula e o reservat´orio come¸ca a ser esvaziado. O reservat´orio fica vazio ao fim de nove horas. Admita que a altura, em metros, da ´agua no reservat´orio, t horas ap´os este ter come¸cado a ser esvaziado, ´e dada para t ∈ [0, 9] por

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t

h(t) = 8 7 6 5 4 3 2 1

3m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 h(t)

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de

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10 −9−8−7−6−5−4−3−2−1 −1 −2 −3 −4 −5 −6

14t − a . 3t − b

(a) Mostre que a = 14 e b = 3.

ww

w.

(b) Qual a altura, em metros, da ´agua no reservat´orio sabendo que a v´alvula esteve aberta 5 horas? (c) Determine a taxa de varia¸c˜ao m´edia de h no intervalo [3, 5] e interprete o resultado.

2

ww

w.

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de

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AULA 2: Reta tangente

Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 2 clique em

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2.1. Calcule a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao f no ponto T onde: (a)

f (x) = x2 − 4 e T (1, −3)

(b)

f (x) =

(c)

f (x) = ex e T ´e o ponto de abcissa 0.

A reta de equa¸c˜ao y = x + 1 ´e tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao definida por f (x) = x2 + 3x + 2. Determine as coordenadas do ponto de tangˆencia.

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w.

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de

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2.2.

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t

x−4 e T (0, −2) x+2

3

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de

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AULA 3: Defini¸ca˜o de derivada. Interpreta¸ca˜o geom´etrica de derivada

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.

3.1. Calcule, recorrendo `a defini¸c˜ao de derivada: x2 − 1 (a) f ′ (−1) onde f (x) = 1−x √ ′ (b) f (4) onde f (x) = x

Na figura seguinte est´a representado o parte do gr´afico da fun¸c˜ao√definida por 3 . f (x) = x2 − 4 e as suas retas tangentes nos pontos de abcissas −2 e 2 C

44 y b

3

ww

w.

a ca

de

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t

3.2

22 1 A −4 −2 −5 −3 −1 0 −1 b

s √

3 2

1

b

2

α = 60◦ 3 4 5x

−2 −2 −3

b

B

−4 −4 −5

Determine as equa¸c˜oes das retas tangentes, f ′ (−2) e f ′ 4

√  3 2

.

AULA 4: Derivadas laterais

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Sum´ ario/pr´ e-requisitos

be

Derivadas: Derivadas laterais de uma fun¸c˜ao num ponto.

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Pr´ e-requisitos:

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w.

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de

O estudante dever´ a conhecer os conceitos de derivada e de reta tangente, ter competˆencias na ´ area de limites de fun¸c˜oes reais de vari´avel real e em geometria anal´ıtica elementar. Dever´a em particular saber trabalhar com fun¸c˜ oes definidas por ramos.

Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 4 clique em

.

4.1. Considere as fun¸c˜oes f , g, h e i, reais de vari´avel real definidas por:  2x2 − 3 se x ≤ 1 f (x) = g (x) = |x − 2| − 3x 4x − 5 se x > 1  x   e − 2 se x < 2 3x − 4 se x ≤ 1 −3 se x = 2 h (x) = i (x) = 1 − x2 se x > 1  4x − 11 se x > 2

t

(a) Calcule f ′ (1) e interprete graficamente o resultado obtido.

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(b) Mostre que n˜ao existe g ′(2) e interprete graficamente o resultado obtido.

ww

w.

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de

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be

(c) Calcule, se existir, h′ (0), h′ (1) e i′ (2).

5

AULA 5: Derivabilidade e continuidade

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Sum´ ario/pr´ e-requisitos

de

Pr´ e-requisitos:

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Derivabilidade e continuidade de uma fun¸c˜ao num ponto.

be

Derivadas:

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w.

a ca

O estudante dever´ a conhecer os conceitos de continuidade, derivada e reta tangente, ter competˆencias na ´ area de limites de fun¸c˜oes reais de vari´avel real e em geometria anal´ıtica elementar. Dever´a em particular saber trabalhar com fun¸c˜oes definidas por ramos.

Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 5 clique em

.

5.1. Recorrendo `a derivada mostre que a fun¸c˜ao definida por f (x) = 3x2 + x − 1 ´e cont´ınua no ponto de abcissa 1.

t

f (x) − f (a) = 6 e f (a) = 4. Qual x→a x−a

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5.2. Uma fun¸c˜ao real de vari´avel real f satisfaz lim ´e o valor de lim f (x)?

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be

x→a

f (x) =



3x − 1 se x ≤ 1 x2 + 1 se x > 1

w.

a ca

de

5.3. Considere a fun¸c˜ao real de vari´avel real f definida por

ww

Mostre que f ´e cont´ınua no ponto 1 e, no entanto, n˜ao tem derivada neste ponto.

5.4.

Na figura seguinte est´a representado parte do gr´afico de uma fun¸c˜ao real de vari´avel real f . 6

5

y

4

f

3 2 1

2

3

5x

4

be

−2

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−4 −3 −2 −1 0 1 −1

t

b

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−3

Na figura seguinte est´a representado parte do gr´afico de uma fun¸c˜ao real de vari´avel real g. y5 4 g 3

w.

5.5.

a ca

de

Indique o conjunto de pontos onde f ´e deriv´avel, com base no seu gr´afico.

ww

b

2 1 b

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 −1

2

3

4

5

6

b

−2 −3

−4 Estude g quanto a` derivabilidade, com base no seu gr´afico. Considere a fun¸c˜ao real de vari´avel real f definida por  3 − x2 se x ≤ 0 f (x) = 4x − e2x se x > 0

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t

5.6.

be

(a) Mostre que f n˜ao ´e cont´ınua no ponto 0.

ww

w.

a ca

de

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(b) Estude a diferenciabilidade de f no ponto de abcissa 0.

7

7 x8

AULA 6: Fun¸ca˜o derivada

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Sum´ ario/pr´ e-requisitos

Derivadas:

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be

Fun¸c˜ ao derivada. Pr´ e-requisitos:

ww

w.

a ca

de

O estudante dever´ a conhecer o conceito de derivada e ter competˆencias na a´rea de limites de fun¸c˜ oes reais de vari´avel real e em geometria anal´ıtica elementar. Dever´ a em particular saber trabalhar com fun¸c˜oes definidas por ramos.

Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 6 clique em

.

6.1. Considere a fun¸c˜ao real de vari´avel real f definida por  2 x − 4x se x ≥ 4 f (x) = −x2 + 4x se x < 4

ww

w.

a ca

de

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be

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t

Caraterize a fun¸c˜ao derivada de f recorrendo exclusivamente a` defini¸c˜ao de derivada.

8

ww

w.

a ca

de

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be

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t

AULA 7: Regras de deriva¸ca˜o. Derivadas de ordem superior

.

ww

w.

a ca

de

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t

Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 7 - Parte I clique em

Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 7 - Parte II clique em

.

7.1. Determine a derivada de cada uma das seguintes fun¸c˜oes usando as regras de deriva¸c˜ao: 9

(b) y = (1 + x) + 3x + x2

(a) y = 3x + 5

 x x2 + x 2x4 − 2 2

(g) y = −x2 + 3x − 2 (i) y =

t

(f) y = (5x + 1)6


2

(h) y =

x2 + x 2x + 1

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(e) y =




(d) y = (3x − 4) 4x2 − 4x

+ 14 x4 − 5x6

x+1 x−3

(j) y = e−3x+1

be

x3 3

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(c) y =




(m) y = e

(n) y = xe−x + xe

(o) y = e−2x (x − 3x4 )

x

1

+ ex

w.

a ca

√

de

1 (l) y = (ex − e−x ) 3

ww

1

(p) y = 2−x+ x

(q) y = ln(3x − 4)

(r) y = 4 ln(4x2 − 3)

(s) y = log2 (2x − 4)

ln(3x − 2) 3 ln(4x)

(t) y =

7.2. Calcule a derivada das seguintes fun¸c˜oes no ponto indicado: x (a) f (x) = x2 − + 2 e x = 4; 4 (b) f (x) = x ln x e x = e;

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t

x2 − 3x (c) f (x) = e x = −1; x−2

f (x) = x2 − 3x + 4 e T ´e o ponto de abcissa 1;

(b)

be

(a)

mi aa

7.3. Determine uma equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao f no ponto T onde:

f (x) =

4 + 2x e T ´e o ponto de abcissa −2; x

f (x) = e2x − x2 e T ´e o ponto de abcissa 0;

a ca

de

(c)

f (x) = x ln x + 2x e T ´e o ponto de abcissa 1.

ww

w.

(d)

7.4.

Considere a fun¸c˜ao real de vari´avel real f definida por  ln(2 − x) se x < 1 f (x) = −3x (x + 1)e se x ≥ 1

(a) Mostre que f n˜ao ´e cont´ınua no ponto 1. 10

(b) Estude a diferenciabilidade de f no ponto de abcissa 1. (c) Caraterize a fun¸c˜ao derivada de f .

be

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AULA 8: Monotonia e extremos

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Sum´ ario/pr´ e-requisitos

de

Derivadas:

w.

a ca

Aplica¸c˜ oes das derivadas ao estudo da monotonia e extremos de uma fun¸c˜ ao.

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Pr´ e-requisitos: O estudante dever´ a conhecer os conceitos de derivada e de extremo de uma fun¸c˜ ao, saber aplicar as regras de deriva¸c˜ao e resolver equa¸c˜oes. Dever´a ainda conhecer os gr´ aficos das fun¸c˜oes afim, quadr´atica, exponencial, logar´ıtmica e trigonom´etricas.

Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 8 clique em

.

8.1. Estude a monotonia e a existˆencia de extremos relativos de cada uma das seguintes fun¸c˜oes: (b) f (x) = x3 − 3x + 1

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t

(a) f (x) = x2 + 1

x4 x3 − − x2 + 3 4 3

(d) f (x) = x +

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(c) f (x) =

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(e) f (x) = 2 − x2 e4x

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de

(g) f (x) =

1 x

(f) f (x) = 8 − 4x + ln(2x + 4)

x 1 − ln x

ww

w.

8.2. A partir de folhas met´alicas retangulares com dimens˜oes 6 m por 8 m pretendem-se construir contentores sem tampa com a forma de paralelep´ıpedo. Dos cantos da chapa, extraem-se quadrados de modo o permitir a sua constru¸c˜ao. Quais s˜ao as dimens˜oes da caixa de maior volume?

11

AULA 9: Concavidade e pontos de inflex˜ao

Derivadas:

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Aplica¸c˜ oes das derivadas ao estudo das concavidades e dos pontos de inflex˜ ao do gr´ afico de uma fun¸c˜ao.

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Sum´ ario/pr´ e-requisitos

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w.

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de

Pr´ e-requisitos: O estudante dever´ a conhecer o conceito de derivada, saber aplicar as regras de deriva¸c˜ ao e resolver equa¸c˜ oes. Dever´a ainda conhecer os gr´aficos das fun¸c˜oes afim, quadr´ atica, exponencial, logar´ıtmica e trigonom´etricas.

Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 9 clique em

.

Considere a fun¸c˜ao f , de dom´ınio R, definida por f (x) = ex (x2 + x).

9.1.

Recorrendo exclusivamente a processos anal´ıticos, resolva as al´ıneas seguintes: (a) Verifique que f ′ (x) = ex (x2 + 3x + 1). (b) Estude f quanto ao sentido das concavidades do seu gr´afico e quanto a` existˆencia de pontos de inflex˜ao. Estude a concavidade e os pontos de inflex˜ao do gr´afico da fun¸c˜ao definida por f (x) = x4 − 6x2 .

ww

w.

a ca

de

mi aa

be

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t

9.2

12

Tabela de derivadas

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t

Sejam f e g fun¸c˜ oes reais de vari´ avel real. + Sejam a ∈ R \ {1} e k ∈ R constantes.

x′ = 1

(kx)′ = k

(xk )′ = kxk−1

(f + g)′ = f ′ + g ′

(f − g)′ = f ′ − g ′

(kf )′ = kf ′

(f × g)′ = f ′ g + f g ′

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de


′

= kf ′ f k−1

ww

w.

fk

a ca

 ′ f ′g − f g′ f = g g2 ef


′

= f ′ ef

(ex )′ = ex

af


′

= f ′ af ln a

(ax )′ = ax ln a

(ln f )′ =

f′ f

(loga f )′ =

(ln x)′ = f′ f ln a

1 x

(loga x)′ =

1 x ln a

(sin f )′ = f ′ cos f

(sin x)′ = cos x

(cos f )′ = −f ′ sin f

(cos x)′ = − sin x

t

f′ sin2 f

1 cos2 x

(cotgx)′ = −

ww

w.

a ca

de

mi aa

(cotgf )′ = −

(tan x)′ =

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f′ cos2 f

be

(tan f )′ =

be

k′ = 0

13

1 sin2 x