Matem´ atica 12.o / Ensino M´ edio Ficha+Aulas de limites e continuidade
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Vers˜ao de 14 de Setembro de 2016. Verifique se existe vers˜ao com data mais recente aqui.
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be
A Ficha+Aulas de limites e continuidade inclui 8 aulas e 60 exerc´ıcios em v´ıdeo. Todos os direitos de autor est˜ao reservados para o autor Rui Castanheira de Paiva (
[email protected]). A ficha tamb´em est´a dispon´ıvel em www.academiaaberta.pt juntamente com conte´ udos interativos e f´orum de tira d´ uvidas. Recomendamos que a utilize de acordo com a seguinte sequˆencia:
de
V´ıdeo da aula → Resolver os exerc´ıcios → Confirmar resultados nos v´ıdeos
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w.
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Para visualizar a resolu¸c˜ao dum exerc´ıcio deve clicar no ´ıcone junto ao mesmo. Os v´ıdeos associados a esta ficha de trabalho tˆ em acesso gratuito e, do ponto de vista pr´ atico, pretendem ser uma introdu¸c˜ ao ao tema abordado. Pode encontrar em bit.ly/compralivrohibrido o livro de 592 paginas: R.C.Paiva. Prepara¸c˜ao h´ıbrida para o exame nacional de matem´atica 2017, Edi¸c˜ao de Autor, 2016. ISBN 10: 98-920-6010-5. Dep´osito legal: M. 398220/16. O objetivo principal desta obra ´e preparar um aluno de forma completa para o exame nacional de Matem´atica A do 12.o ano atrav´es de um livro que acrescenta aos conte´ udos habituais dos livros com o mesmo prop´osito que est˜ao no mercado, resumos te´oricos acompanhados de v´ıdeos tutoriais, exerc´ıcios chave resolvidos passo a passo em v´ıdeo e aplica¸c˜oes dinˆamicas. Todos estes conte´ udos est˜ao acess´ıveis atrav´es de endere¸cos da Internet e de QR Codes. Deste modo, ao apontar a cˆamara de um smartphone ou tablet para as p´aginas do manual impresso visualizam-se v´ıdeos, acede-se a aplica¸c˜oes dinˆamicas e a outros recursos complementares relacionados com o tema abordado.
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O livro acrescenta aos recursos existentes em www.academiaaberta.pt: • Resumos te´oricos acompanhados de v´ıdeos (acess´ıveis por QR Codes);
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• Mais de 200 exerc´ıcios chave resolvidos passo a passo em v´ıdeo e apoiados por aplica¸c˜oes dinˆamicas (acess´ıveis por QR Codes);
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• Mais de 350 exerc´ıcios resolvidos de forma detalhada (10.o , 11.o e 12.o anos);
• Mais de 400 quest˜oes propostas com solu¸c˜oes desenvolvidas (10.o , 11.o e 12.o anos);
de
• Exames-tipo com resolu¸c˜ao;
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• Exames nacionais de 2015 e 2016 com resolu¸c˜ao;
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w.
• Liga¸c˜oes a conte´ udos adicionais dispon´ıveis em www.academiaaberta.pt; • As resolu¸c˜oes dos exerc´ıcios resolvidos num ficheiro PDF online;
• credenciais de acesso aos conte´ udos interativos e multim´edia e instru¸c˜oes de utiliza¸c˜ao de um leitor de QR Codes. Pode ver mais pormenores e adquirir o livro em bit.ly/compralivrohibrido. Pode aceder em bit.ly/livro2017 a um v´ıdeo de apresenta¸c˜ao do livro (apenas 2 minutos). 1
AULA 1: Revis˜oes. Defini¸ca˜o de limite segundo Heine
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Sum´ ario/pr´ e-requisitos
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Limites e continuidade
1.1.
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Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 1 clique em
w.
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de
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Pr´ e-requisitos: O estudante dever´ a ter conhecimentos elementares de fun¸c˜oes reais de vari´ avel real, de sucess˜ oes e de limites de sucess˜ oes.
be
Conceito intuitivo de limite; Defini¸c˜ ao de limite segundo Heine.
Calcule lim f (an ) onde:
.
3n − 2 ; n 8 (b) f (x) = ln x e an = e4 + 2 . n 1 (c) f (x) = 2x2 − 3x + 5 e an = . n (a) f (x) = 4x − 24 e an =
Na figura seguinte est´a representado o gr´afico de uma fun¸c˜ao real de vari´avel real f . 5y 44 f
33 b
22 bb
b
b
11 b
−5 −4 −3 −2 −1 0 11 −1 −1
a ca
de
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be
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t
1.2.
22
33
44
55
66
77
88 x9
−2
w.
Calcule, se existir: b
(b) lim − f (x);
(c) lim + f (x)
(d) lim− f (x);
(e) lim+ f (x);
(f) lim f (x);
ww
(a) lim + f (x); x→−4
x→2
x→−2
x→2
(g) lim− f (x); x→8
2
x→−2
x→2
(−1)n n
;
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be
(g) lim f 2 +
t
Considere o gr´afico da fun¸c˜ao real de vari´avel real f do exerc´ıcio anterior. Calcule: (b) lim f −2 − n22 ; (c) lim f −2 + 21n ; (a) lim f −4 + n1 ; √1 (d) lim f 2 − n21+1 ; (e) lim f 2n+3 ; (f) lim f 8 + ; n+1 n
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1.3.
a ca
de
AULA 2: Propriedades operat´orias dos limites
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w.
Sum´ ario/pr´ e-requisitos
Limites e continuidade Propriedades operat´orias dos limites. Pr´ e-requisitos:
t
O estudante dever´ a conhecer o conceito de fun¸c˜ao real de vari´avel real e o conceito de limite.
de a ca ww
w.
.
Calcule, se existirem, os seguintes limites aplicando as suas regras operat´orias: 5x − 4 (a) lim (5x) (b) lim 5x2 − 4x5 + 2 (c) lim x→3 x→−3 x→2 x + 4 se x < 1 2 − 3x √ 3 4 se x = 1 (d) lim x (e) lim f (x) onde f (x) = x→−2 x→1 2 ln e−1+x −x se x > 1
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2.1.
be
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Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 2 clique em
3
AULA 3: Limites e o infinito
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t
Sum´ ario/pr´ e-requisitos
Limites e continuidade
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be
Limites e infinito. Pr´ e-requisitos:
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w.
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de
O estudante dever´ a conhecer o conceito de fun¸c˜ao real de vari´avel real e as regras operat´orias dos limites.
Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 3 clique em
3.1.
Calcule cada um dos seguintes limites: (a) lim (10 + x)
(b) lim (10 + x)
x→+∞
(d) lim
x2 + 5x5
(e) lim x→+∞
x→+∞
−x − x2
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t
Calcule cada um dos seguintes limites: −3 1 (b) lim− (a) lim+ x→3 3 − x x→2 x − 2
de
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be
5x + 2 (d) lim+ 2 x→0 x − 3x 12 (g) lim x→+∞ 1 − x x 2 (j) lim x→+∞ 3
4x2 (e) lim− x→2 2x − x2 2 − ln e4 (h) lim x→−∞ 8 + x (l) lim ex x→−∞
ww
w.
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(c) lim (9999 − 2x)
x→−∞
x→+∞
3.2.
.
4
(c) lim− x→2
(f) lim+
2x −4
x2 √
x→1
2−2 1 − x2
(i) lim 2x x→+∞
(m) lim
x→−∞ ex
5 +x
AULA 4: Limites e indetermina¸co˜es
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Sum´ ario/pr´ e-requisitos
Limites e continuidade
mi aa
be
Limites e indetermina¸c˜oes. Pr´ e-requisitos:
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w.
a ca
de
O estudante dever´ a conhecer os conceitos de fun¸c˜ao real de vari´avel real e saber aplicar as propriedades operat´orias dos limites.
Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 4 clique em 4.1. Calcule cada um dos seguintes limites: (a) lim x5 + 3x + 2 (b) lim x→+∞
x→+∞
4x5 − 3x − x6
(c) lim x→−∞
3 + 7x x→+∞ 2 − x
t
(e) lim
x→−∞
x5 − 3x + 2
2x2 + 5x x→−∞ x2 + 3x + 2 x5 1 (h) lim × x→−∞ x2 4 − 2x
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de
x→+∞
a ca
4 √ 1 − 2x − 3 − 2x
ww
w.
x→−∞
(f) lim
4.2. Calcule cada um dos seguintes limites: √ √ (a) lim x−3− x (c) lim √
9x − 42x2 − 2x3
be
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x2 x→−∞ x3 + 9
(g) lim
(d) lim
.
5
(b) lim
√
3x −
√
7 + 3x
2 √ ln e × x2 (d) lim √ √ x→−∞ x2 − 5 + 4x2 x→+∞
4.3. Calcule: (b)
(c)
x3 − 5x2 + 8x − 4 x→2 2x3 − 6x2 + 8
(d)
lim
x→0
x3 − 6x2 + 11x − 6 x3 + x2 − 5x + 3
lim+
x3 − 6x2 + 11x − 6 x3 + x2 − 5x + 4
x→1
x4 + x2 x3
(f)
x→1
x lim √ x→0 x
(h)
(i)
√ x− x lim x→0+ x3 − x2
(j)
x−1 lim √ x→1 x−1 √ 1− x+4 lim x→−3 x+3
w.
a ca
(g)
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lim+
lim+
de
(e)
x3 + 1 x→−1 x + 1 lim
ww
AULA 5: Limites not´aveis com exponenciais e logaritmos
Sum´ ario/pr´ e-requisitos
Limites e continuidade Limites not´ aveis com exponenciais e logaritmos. Pr´ e-requisitos:
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be
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t
O estudante dever´ a conhecer os conceitos de logaritmo, exponencial, saber reconhecer um s´ımbolo de indetermina¸c˜ao e saber aplicar as regras operat´orias dos limites.
ww
w.
a ca
de
Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 5 clique em
6
.
t
x2 − 4 x→2 x − 2
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lim
be
(a)
5.1. Calcule cada um dos seguintes limites: (a)
lim
ex − 1 x→0 2x
(b)
lim
1 − e3x x→0 2x
(c)
e−x − 1 x→0 x
(d)
ex − e5x x→0 2x
(e)
ex − 1 x→0 e2x − 1
(f)
ex − e3 x→3 x − 3
lim π x
(i)
lim ex
(h) (l)
2x x→+∞ ex
(n)
ex x→+∞ 2x
(o)
e2x x→+∞ x3
ln (x + 1)2 lim x→0 4x ln (2x) lim x→+∞ x
(b)
(e)
a ca
ln (2x + 1) x→0 3x lim
x x→+∞ e2x lim
w.
5.2. Calcule cada um dos seguintes limites:
2x x→−∞ ex lim
(p)
lim
ww
lim
(m)
lim
be
(j)
(d)
t
x→−∞
x 2 lim x→+∞ 3
(a)
lim e3x
x→+∞
mi aa
x→+∞
lim
de
(g)
lim
rta .p
lim
lim
ln (−3x) lim x→−∞ x
lim1
(c)
x→ 2
(f)
ln (2x) 2x − 1
x5 lim x→−∞ ln (−x)
AULA 6: Continuidade de uma fun¸ca˜o
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t
Sum´ ario/pr´ e-requisitos
Limites e continuidade
be
Continuidade de uma fun¸c˜ao num ponto e num intervalo.
mi aa
Pr´ e-requisitos:
ww
w.
a ca
de
O estudante dever´ a conhecer o conceito de fun¸c˜ao real de vari´avel real e saber calcular limites de uma fun¸c˜ao num ponto.
Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 6 clique em
7
.
6.1.
Considere a fun¸c˜ao real de vari´avel real definida por f (x) =
onde k ∈ R.
|k| − 5 se x ≥ −1 x3 +1 se x < −1 x2 +x
onde k ∈ R.
rta .p be mi aa
Considere a fun¸c˜ao real de vari´avel real definida por 1−ekx se x > 0 ln(x+1) 1 f (x) = se x = 0 2 √ 1− −x − 1 se x < 0 1−x2 2
6.2.
t
Determine os valores de k de modo a que a fun¸c˜ao seja cont´ınua em x = −1.
Estude cada uma das seguintes fun¸c˜oes quanto a` continuidade justificando pormenorizadamente. 2 − x3 (a) f (x) = x4 − 3x + 5 (b) g (x) = 9 − x2 ex − 1 (c) h (x) = ln (x − 3) − (d) i (x) = ex−3 + x2 2 (x − 7) e3x −1 se x < 0 x (e) j (x) = log2 (2x + 8) se x ≥ 0
ww
w.
6.3.
a ca
de
Determine os valores de k de modo a que a fun¸c˜ao seja cont´ınua em x = 0.
AULA 7: Teorema de Bolzano
rta .p
t
Sum´ ario/pr´ e-requisitos
Limites e continuidade
be
Teorema de Bolzano.
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Pr´ e-requisitos:
ww
w.
a ca
de
O estudante dever´ a conhecer os conceitos de fun¸c˜ao real de vari´avel real e de continuidade de uma fun¸c˜ ao.
Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 7 clique em
8
.
Considere a fun¸c˜ao real de vari´avel real definida por f (x) = x3 − 4x2 + 5.
7.1.
(a) Mostre que f (x) = 10 tem pelo menos uma solu¸c˜ao em ]4, 5[. (b) Mostre que f (x) = 0 tem pelo menos uma solu¸c˜ao em ]−3, 0[
rta .p
t
(c) Prove que f toma o valor −1 pelo menos uma vez no intervalo ]0, 3[ Considere a fun¸c˜ao real de vari´avel real definida por f (x) = e2x − 8.
7.2.
be
(a) Mostre que existe c ∈ ]1, 2[ tal que f (c) = 0 de dois modos diferentes.
de
Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua, de dom´ınio [0, 5] e contradom´ınio [3, 4]. Seja g a fun¸c˜ao, de dom´ınio [0, 5], definida por g (x) = f (x) − x. Prove que a fun¸c˜ao g tem, pelo menos, um zero.
w.
a ca
7.3.
mi aa
(b) Mostre que a equa¸c˜ao f (x) = 2 tem pelo menos uma solu¸c˜ao em ]0, 3[.
ww
De uma fun¸c˜ao g, cont´ınua em R, sabe-se que:
7.4.
• 1 ´e zero de g; • g(3) > 0.
Prove que a equa¸c˜ao g (x) =
g(3) 2
tem, pelo menos, uma solu¸c˜ao no intervalo ]1, 3[.
AULA 8: Ass´ıntotas
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t
Sum´ ario/pr´ e-requisitos
LIMITES E CONTINUIDADE
be
Assintotas do gr´ afico de uma fun¸c˜ao.
mi aa
Pr´ e-requisitos:
ww
w.
a ca
de
O estudante dever´ a conhecer os conceitos de fun¸c˜ao real de vari´avel real e saber calcular limites e estudar a continuidade de uma fun¸c˜ao no seu dom´ınio.
Se tiver dificuldades em visualizar a Aula 8 clique em
9
.
8.1. Determine as ass´ıntotas dos gr´aficos das fun¸c˜oes reais de vari´avel real definidas por:
(f)
f (x) = x × e−x
(h)
f (x) = ex (x − 2)
(j)
f (x) =
t
f (x) =
f (x) = ln (x − 3) − x + 1
ln x + 2x + 1 x x f (x) = ln x
(i)
f (x) = ex x2 + 3x
(l)
f (x) = e x−2 + 4 −x e +x se x > −1 f (x) = x2 − x + 1 se x ≤ −1 √ √ x − 2 − x se x ≥ 2 f (x) = e2x −x2 −2x se x < 2 ∧ x 6= 0 x
(n)
ex x2 − 4
w.
a ca
3
ww
(m)
rta .p
(e)
(d)
be
f (x) = x + 1 + ln x
f (x) =
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(c)
x3 − 1 3x2 − 3
(b)
de
f (x) =
(g)
8.2.
x2 + 1 2x + 2
(a)
Na figura seguinte est´a representado parte do gr´afico de uma fun¸c˜ao real de vari´avel real f . y 4
f
3 2
−4
−3
−2
−1 −1
0
1
2
3
4
5
6
x
−2 −3 −4
b
−5
a ca
de
mi aa
be
rta .p
−5
t
1
ww
w.
Indique, justificando, a veracidade de cada uma das seguintes afirma¸c˜oes: f (x) 2 (a) lim = +∞ (b) lim f (x) − x = −2 x→+∞ x→+∞ 3 x 1 2 (d) lim f (x) − x = +∞ (c) lim f (x) − x + 2 = 0 x→+∞ x→+∞ 3 3
10
f (x) = −1 x→−∞ x (g) lim (f (x) + x − 11) = 10
(e) lim
x→−∞
(f) lim (f (x) + x) = −1 x→−∞
(h) lim (f (x) − x + 1) = 1 x→−∞
(i) lim (f (x) + 2x) = −1
ww
w.
a ca
de
mi aa
be
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t
ww
w.
a ca
de
mi aa
be
rta .p
t
x→−∞
11
