Matem´ atica 12.o / Ensino M´ edio Ficha+Aulas de Complexos
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Vers˜ao de 18 de Maio de 2017. Verifique se existe vers˜ao com data mais recente aqui.
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A Ficha+Aulas de Complexos inclui 4 aulas e 29 exerc´ıcios em v´ıdeo. Todos os direitos de autor est˜ao reservados para o autor Rui Castanheira de Paiva (
[email protected], www.academiaaberta.pt e www.facebook.com/aaberta). A ficha udos interatamb´em est´a dispon´ıvel em www.academiaaberta.pt juntamente com conte´ tivos e f´orum de tira d´ uvidas. Recomendamos que a utilize de acordo com a seguinte sequˆencia:
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V´ıdeo da aula → Resolver os exerc´ıcios → Confirmar resultados nos v´ıdeos
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Para visualizar a resolu¸c˜ao dum exerc´ıcio deve clicar no ´ıcone junto ao mesmo. Os v´ıdeos associados a esta ficha de trabalho tˆ em acesso gratuito e, do ponto de vista pr´ atico, pretendem ser uma introdu¸c˜ ao ao tema abordado. Pode encontrar em bit.ly/compralivrohibrido o livro de 592 paginas: R.C.Paiva. Prepara¸c˜ao h´ıbrida para o exame nacional de matem´atica 2017, Edi¸c˜ao de Autor, 2016. ISBN 10: 98-920-6010-5. Dep´osito legal: M. 398220/16. O objetivo principal desta obra ´e preparar um aluno de forma completa para o exame nacional de Matem´atica A do 12.o ano atrav´es de um livro que acrescenta aos conte´ udos habituais dos livros com o mesmo prop´osito que est˜ao no mercado, resumos te´oricos acompanhados de v´ıdeos tutoriais, exerc´ıcios chave resolvidos passo a passo em v´ıdeo e aplica¸c˜oes dinˆamicas. Todos estes conte´ udos est˜ao acess´ıveis atrav´es de endere¸cos da Internet e de QR Codes. Deste modo, ao apontar a cˆamara de um smartphone ou tablet para as p´aginas do manual impresso visualizam-se v´ıdeos, acede-se a aplica¸c˜oes dinˆamicas e a outros recursos complementares relacionados com o tema abordado.
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O livro acrescenta aos recursos existentes em www.academiaaberta.pt: • Resumos te´oricos acompanhados de v´ıdeos (acess´ıveis por QR Codes);
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• Mais de 200 exerc´ıcios chave resolvidos passo a passo em v´ıdeo e apoiados por aplica¸c˜oes dinˆamicas (acess´ıveis por QR Codes);
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• Mais de 350 exerc´ıcios resolvidos de forma detalhada (10.o , 11.o e 12.o anos);
• Mais de 400 quest˜oes propostas com solu¸c˜oes desenvolvidas (10.o , 11.o e 12.o anos);
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• Exames-tipo com resolu¸c˜ao;
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• Exames nacionais de 2015 e 2016 com resolu¸c˜ao;
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• Liga¸c˜oes a conte´ udos adicionais dispon´ıveis em www.academiaaberta.pt; • As resolu¸c˜oes dos exerc´ıcios resolvidos num ficheiro PDF online;
• credenciais de acesso aos conte´ udos interativos e multim´edia e instru¸c˜oes de utiliza¸c˜ao de um leitor de QR Codes. Pode ver mais pormenores e adquirir o livro em bit.ly/compralivrohibrido. Pode aceder em bit.ly/livro2017 a um v´ıdeo de apresenta¸c˜ao do livro (apenas 2 minutos). 1
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AULA 1: Forma alg´ebrica e generalidades
1.1. Considere os n´ umeros complexos z1 = 3 − i, z2 = −6 + 2i, z3 = 1 + i e z4 = −3i. (a)
Indique para cada um deles o conjugado, a parte real, a parte imagin´aria e o coeficiente da parte imagin´aria.
(b)
Escreva cada um dos seguintes complexos na forma alg´ebrica: z2 (ii) z2 × z3 − z4 (iii) + z1 (iv) z1 × (z3 + z4 ) (i) z1 − 2z2 z3 z1 2 (vi) z4 (z1 − z3 ) + i34 (viii) i432 − 2 × z47 (v) (vii) z2 z3
1.2. Resolva em C cada uma das seguintes equa¸c˜oes: x2 + 3 = 0
(b)
x2 + x + 1 = 0
(c)
x3 − 8 = 0
(d)
6 + x3 + 2x2 + 3x = 0
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(a)
Sabendo que 2 + i ´e uma raiz da equa¸c˜ao z 3 − 11z + 20 = 0 determine as outras ra´ızes.
1.4.
Sendo z1 = 3 + (2 − k) i e z2 = 5 + m + 3i determine os n´ umeros reais k e m de modo que z1 = z2 .
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1.3.
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AULA 2: Representa¸ca˜o na forma trigonom´etrica
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Escreva cada um dos seguintes n´ umeros complexos na forma trigonom´etrica.
2.1.
(a) 4;
√
(e) 3 + 3 3i;
(b) −2;
(c) 3i;
(f) −4 + 4i;
(g) −3 2 − π
√
5 π 3
√
(d) −4i;
6i;
√ (h) 3 − 3 3i.
2.2.
Escreva os n´ umeros complexos 2cis
2.3.
π e z2 = 4r cis (2α) dois n´ umeros complexos. Sejam z1 = 2cis − 6
e 6cis
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(a) Escreva z1 , −z1 e −z1 na forma trigonom´etrica.
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(b) Determine r e α de modo que z1 = z2 .
3
na forma alg´ebrica.
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AULA 3: Opera¸co˜es na forma trigonom´etrica
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π 2π π e z3 = cis − . Considere os complexos complexos z1 = 2cis , z2 = −3cis 3.1. 2 3 3 Calcule na forma trigonom´etrica: z1 z1 (a) z1−1 ; (b) z1 × z2 ; (c) ; (d) (z2 )9 ; (e) × z¯3 z2 z¯2
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3.2. Calcule e represente no plano de Argand √ (a) as ra´ızes quadradas de 1 − 3i; √ √ 2 2 (b) − i; as ra´ızes quartas de − 2 2 as ra´ızes quintas de −3i.
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(c)
4
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AULA 4: Dom´ınios planos
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4.1. Represente por uma condi¸c˜ao em C cada uma das seguintes regi˜oes: (a)
(b)
5 Im 44 33 22 11
Re 1 2 3 4 5
−5 −4 −3 −2 −1 −1 −1 −2 −2 −3 −3 −4 −4 −5
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−5 −4 −3 −2 −1 −1 −1 −2 −2 −3 −3 −4 −4 −5
b b
(c)
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5 Im 44 33 22 11
6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −1 −2 −2 −3 −3 −4 −4 −5
5 Im 44 33 22 11
(d)
b b
Re 1 2 3 4 5
b
5
Re 1 2 3 4 5 b b
5 Im 44 33 22 11
6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −1 −2 −2 −3 −3 −4 −4 −5
b
b
Re 1 2 3 4 5
(f)
π 4
−4 −3 −2 −1 −1 −2 −3
−4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4
Re 1 2 3 4
Im
b
Re 1 2 3 4
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4 3 2 1
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Im
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5 4 3 2 1
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(e)
(b)
|z| ≤ 4 ∧ |z| > 1;
(c)
Re (z − 3 + 2i) > 1 ∧ Im (3 − 3i − z) > −2;
(d)
|z − 2 + 2i| = |z + 3 − 4i|;
(e)
|z| ≤ |z − 1 + 2i|∧|z| < 4∧Re (z − 3 − 4i) > −5;
(f)
arg (z) =
(g)
arg (z − 3 + 3i) =
(h)
π 5π ≤ arg (z − 3 + 3i) ≤ ; 6 6
(i)
z + z¯ = 0;
w.
|z| = 4;
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(a)
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de
4.2. Represente, no plano de Argand, os conjuntos de pontos definidos por cada uma das seguintes condi¸c˜oes:
7π ∧ 2 |i − z| > 4; 6
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(j)
6
π ; 3
z − z¯ > 4i.
