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TEMPO
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juros
Fundamentos Básicos da
MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Uanderson Rebula de Oliveira
$ R$ 5.000 Uanderson Rebula de Oliveira
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Produção Industrial e Automotiva
UANDERSON REBULA DE OLIVEIRA Mestrando em Engenharia (ênfase Engenharia de Produção)-Universidade Estado de São Paulo-FEG-UNESP Pós-graduado em Controladoria e Finanças-Universidade Federal de Lavras-UFLA Pós-graduado em Logística Empresarial-Universidade Estácio de Sá-UNESA Graduado em Ciências Contábeis-Universidade Barra Mansa-UBM Técnico em Metalurgia-Escola Técnica Pandiá Calógeras-ETPC Técnico em Segurança, Saúde e Higiene do Trabalho-ETPC Operador Siderúrgico e Industrial-ETPC Professor da Universidade Estácio de Sá nas disciplinas de Gestão Financeira de Empresas, Fundamentos da Contabilidade e Matemática Financeira, Probabilidade e Estatística, Ergonomia, Higiene e Segurança do Trabalho, Gestão de Segurança e Análise de Processos Industriais, Gestão da Qualidade: programa 5S (curso de férias). Palestrante para Administradores (graduação). Ex-professor Conteudista na UNESA (elaboração de Planos de Ensino e de Aula, a nível nacional). Professor em escolas técnicas nas disciplinas de Estatística Aplicada, Estatística de Acidentes do Trabalho, Probabilidades, Contabilidade Básica de Custos,
Metodologia de Pesquisa Científica, Segurança na Engenharia de Construção Civil e Higiene do Trabalho. Ex-professor do SENAI. Desenvolvedor e instrutor de diversos cursos corporativos na CSN, a níveis Estratégicos, Táticos e Operacionais. Membro do IBS–Instituto Brasileiro de Siderurgia.
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EMENTA. Capital, juros, montante, taxa de juros. Sistemas de juros simples. Operações de desconto Sistemas de juros compostos. Taxa nominal, efetiva e equivalente. Valor do dinheiro no tempo. Taxa mínima de atratividade versus inflação. Diagrama de fluxo de caixa. Análise do fluxo de caixa através do Payback Simples e Descontado. Análise do fluxo de caixa através do Valor Presente Líquido
OBJETIVO.
Compreender os conceitos e os princípios fundamentais da Matemática Financeira para resolver problemas que envolvam juros simples, compostos, desconto de títulos; Compreender o que é e para que serve um fluxo de caixa; Saber a diferença do dinheiro em deferentes épocas; Avaliar a viabilidade de um investimento através do Valor Presente Líquido e Payback.
Campus Resende 2010 Uanderson Rebula de Oliveira
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NOTA DO PROFESSOR
No mundo atual, extremamente complexo e globalizado, as questões financeiras surgem a todo o momento no nosso cotidiano. Precisamos ficar atentos, pois utilizamos diariamente inúmeras operações para tomarmos algumas decisões em relação ao dinheiro. São empréstimos, compra e venda, pagamentos de tarifas de luz, água, impostos, aplicações em bancos, tudo isso relacionado com a economia do país. É possível citar, também, as decisões importantes que tomamos quanto aos financiamentos para a aquisição de carros, casas, terrenos etc e aos financiamentos que as empresas fazem para aquisição de máquinas, equipamentos etc. A oscilação do preço do financiamento representado pela elevação ou queda das taxas de juros, o estabelecimento de prazos para a conclusão das operações de financiamento e de investimento, o risco inerente a cada decisão são problemas financeiros latentes de solução. A Matemática Financeira oferece o instrumental ideal para lidar com os fatos citados. Há extrema necessidade das pessoas em geral e, especificamente da classe estudantil, tomarem conhecimento desse poderoso instrumental para auxiliá‐los no entendimento e nas respostas a tais questões. O conhecimento básico das operações de financiamento e investimento habilita o cidadão a escolher caminhos racionais com nível de risco pré‐determinado. O objetivo desta apostila é apresentar de forma simples e objetiva os fundamentos básicos da Matemática Financeira. Trata‐se de um estudo introdutório visando principalmente a sua utilização como apoio no curso, especialmente a disciplina “Gestão Financeira de Empresas”, cujos estudantes precisam no exercício de suas atividades dos conhecimentos básicos da matéria.
Uanderson Rebula Uanderson Rebula de Oliveira
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“No mundo atual, complexo e globalizado, as questões financeiras surgem a todo instante no cotidiano da população”. Bernardo Scisú
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Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira
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Sumário
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SUMÁRIO UNIDADE 1 – FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 1.1 CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA, 7 1.2 CAPITAL, MONTANTE, JUROS, TAXA DE JUROS E PRAZO, 10 1.3 REGIME DE JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS, 15 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4
Conceito de juros simples, 15 Conceito de juros compostos, 15 Cálculo dos juros simples, 16 Cálculo dos juros compostos, 19
1.4 OPERAÇÕES DE DESCONTO, 21 1.4.1 1.4.2
Desconto simples, 21 Desconto composto, 22
1.5 TAXA NOMINAL, EFETIVA E EQUIVALENTE, 23
UNIDADE 2 – FLUXO DE CAIXA 2.1. VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO, 26 2.2. DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA, 27
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS, 28
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Unidade 1 FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
“A matemática financeira surge como um método para avaliar alternativas e ajudar os cidadãos nas decisões. O conhecimento básico das operações de financiamentos e investimentos habilita o cidadão a escolher caminhos racionais com nível de risco pré‐ determinado”. Bernardo Sicsú Economista, Especialista em Finanças e Mestre em Administração Financeira.
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1.1 CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA Segundo Halfeld (2008) os livros de Economia ensinam que há três fatores essenciais para a produção:
• • •
TRABALHO: A remuneração exigida por aquele que fornece trabalho é o SALÁRIO. TERRA: Quem tem terra ou prédios exige um ALUGUEL para emprestá‐lo. CAPITAL: A remuneração exigida por aquele que empresta dinheiro é o JURO.
;
Os fatores de produção são elementos básicos utilizados na produção de bens (como carros, móveis, aço, eletrodomésticos etc.), e serviços (como telefonia, comunicação, manutenção, etc.). Esses fatores têm influencia direta na produção, os quais são utilizados para satisfazer as nossas necessidades.
Assim, podemos visualizar a remuneração dos fatores de produção na figura abaixo:
Capital x JURO – surgimento O conceito do fator de produção Capital x JURO surgiu com a criação de pequenas firmas que se comprometiam a guardar o dinheiro das pessoas. Nasciam, portanto, os primeiros “bancos”. Num espaço de tempo relativamente curto, acumulou‐se nos cofres dos bancos imensa quantidade de dinheiro.
Uma vez que as pessoas que deixavam seu dinheiro guardado não a consumiam imediatamente, os banqueiros foram se ocupando de uma nova atividade: guardar e emprestar dinheiro. Era pouco provável que todos os proprietários, ao mesmo tempo e num mesmo dia, exigissem a devolução imediata de todo seu dinheiro. Assim, os bancos emprestavam parte deste dinheiro a quem pedisse, sob a condição de devolução num prazo determinado, com o propósito de obter alguma vantagem. Por isso, além do dinheiro emprestado, era entregue, no vencimento do prazo estipulado, uma soma adicional, denominada “juro”. Desta forma, o homem percebeu existir estreita relação entre o dinheiro e o tempo (prazo). Toda transação financeira previa quando (datas de início e término da operação) e por quanto tempo (duração da operação) se dava a cessão (o empréstimo) do capital (dinheiro). Este prazo era expresso em determinada unidade de tempo (dia, mês, bimestre, trimestre, semestre, ano, etc.). A instituição bancária foi o elemento propulsor do surgimento de um tratamento matemático na Economia, que exigia um cálculo específico, considerando o juro e o tempo, e o desenvolvimento de um aspecto particular da matemática: a Matemática Financeira.
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MATEMÁTICA FINANCEIRA ESTUDA O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO.
•
Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira.
•
Não é necessário esperar o tempo passar para saber o resultado de uma operação financeira, basta executar determinados cálculos matemáticos para antecipar o resultado!
•
Ex.: Se eu aplicar R$ 1.000 na caderneta de poupança por três anos, com juros de 7% ao ano, qual o valor total que receberei no final da aplicação? Eu não preciso esperar três anos para saber o valor total, basta efetuar simples cálculos oferecidos pela matemática financeira!
O que se conhece como Matemática Financeira está muito mais próximo das pessoas do que se imagina. A Matemática Financeira faz parte do nosso dia a dia.
Aplicações atuais da Matemática Financeira
Atualmente a Matemática Financeira possui diversas aplicações no sistema econômico, algumas situações estão presentes no cotidiano das pessoas, como financiamentos de casa pela caixa econômica federal, financiamentos de carros, realizações de empréstimos, compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações na caderneta de poupança, CDB’s, investimentos em bolsas de valores, cálculos das taxas de inflação (perda do poder de compra) entre outras situações.
Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de juros, considerando o fato “tempo”. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de prestações mensais acrescidas de juros, isto é, o valor de quitação do empréstimo é superior ao valor inicial do empréstimo, a essa diferença damos o nome de juros. A matemática financeira também é utilizada na análise de investimentos (Engenharia Econômica), pois busca ajudar na decisão de onde um valor deve ser aplicado, considerando estritamente a rentabilidade que determinada operação resultará. Veremos este assunto em “Gestão Financeira de Empresas”.
Fundamentos do uso da Matemática Financeira pelas empresas. Os conceitos abaixo são interessantes.
PRÁTICA DAS PESSOAS FÍSICAS:
APLICAR O DINHEIRO na aquisição de BENS que NÃO GERAM DINHEIRO; pelo contrário, tiram o dinheiro da conta bancária, como CARROS DE LUXO, CASA NA PRAIA etc. (ou seja: CRIAR DESPESAS);
TOMAR DINHEIRO EMPRESTADO de um banco e pagá‐lo, ao LONGO do TEMPO, para “COBRIR” as DESPESAS ou contrair “MAIS DESPESAS”.
COMPRAR ou VENDER a VISTA/a PRAZO SEM uma análise financeira de qual opção é mais vantajosa.
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PRÁTICA DAS EMPRESAS: ) APLICAÇÕES FINANCEIRAS Ao invés de contrair despesas, APLICAR O DINHEIRO EM UM BANCO, por exemplo, para que, APÓS ALGUM TEMPO, obtenham rendimentos (juros);
) INVESTIMENTOS APLICAR O DINHEIRO EM IMÓVEIS DE RENDA, SISTEMAS PRODUTIVOS, BOLSA DE VALORES, investirem em outras empresas etc. para que APÓS ALGUM TEMPO obtenham rendimento;
) FINANCIAMENTOS COMPRAR MÁQUINAS, equipamentos etc. parcelado e pagar ao LONGO DO TEMPO. “Pagar com o próprio lucro” obtido na operação; ) EMPRÉSTIMOS Tomar dinheiro emprestado e aplicar na empresa e dar prosseguimento ou expansão das operações, e pagar ao LONGO DO TEMPO.
) Efetuar compras ou vendas a vista/a prazo com análise financeira da opção mais vantajosa. Como se vê, as empresas realizam a todo o momento operações financeiras que são as aplicações financeiras, os investimentos, financiamentos e empréstimos; e se envolvem com operações de compras e vendas a prazo/ a vista. Observe que todas essas operações envolvem tempo. A figura abaixo pode esclarecer as operações financeiras que envolvem as empresas:
Considerações finais
No quesito “TEMPO” tanto as empresas como as pessoas físicas necessitam de uma ferramenta precisa e eficaz para auxiliá‐las nos cálculos para TOMADA DE DECISÕES.
Todo investidor busca a melhor rentabilidade de seus recursos, e para que se possa medir o seu retorno faz‐se necessária a aplicação de cálculos financeiros que possibilitam a tomada de decisão e a gestão financeira das empresas. A Matemática Financeira surge como um MÉTODO para AVALIAR ALTERNATIVAS e ajudar na TOMADA DE DECISÃO. Diante das situações acima, podemos observar que o estudo da Matemática Financeira, com todas as suas fórmulas e fatores, é feito em função do crescimento de urna certa quantia em dinheiro aplicada com o tempo, isto é, dos juros. Portanto: PALAVRA CHAVE DA MATEMÁTICA FINANCEIRA: “JUROS”.
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1.2 CAPITAL, MONTANTE, JUROS, TAXA DE JUROS e PRAZO O que estudaremos agora faz parte do nosso vocabulário habitual com as mais diversas instituições bancárias, seja na hora de abrir uma caderneta de poupança, ou solicitar um empréstimo; também no nosso dia a dia, seja na hora de comprar ou vender um carro, eletrodoméstico etc.
Para aplicação da Matemática Financeira precisamos entender algumas definições importantes, tais como: capital, montante, juros, taxas de juros e prazo. Mencionamos aqui para alinharmos estes conceitos. Para isto, vamos utilizar três exemplos práticos com situações diferentes, como segue:
EXEMPLO 1 – CASO DE INVESTIMENTO UM INVESTIMENTO DE R$100 RETORNOU R$140 AO SEU INVESTIDOR APÓS 6 MESES.
) CAPITAL1 é o VALOR NO INICIO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$100. ) MONTANTE2 é o VALOR NO FINAL DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$140
) JUROS é o VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$40 ($140–$100). ) TAXA DE JUROS é a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO, obtido pela divisão JUROS. No exemplo seria $40 = 0,40 ou 40% em 6 meses. CAPITAL $100
) PRAZO é o PERÍODO DA OPERAÇÃO. No exemplo seriam 6 meses.
O EXEMPLO 1 PODE SER FACILMENTE VISUALIZADO ATRAVÉS DA FIGURA ABAIXO:
Esses são os conceitos básicos em Matemática Financeira. ___________________ 1 Alguns autores definem capital como “valor presente”, “valor inicial”, “capital inicial”, “valor atual” ou “principal”. 2 Alguns autores definem montante como “valor futuro” ou “valor final”, “capital final”.
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EXEMPLO 2 – CASO DE EMPRÉSTIMO EMPRÉSTIMO BANCÁRIO DE R$10, COM DEVOLUÇÃO DE R$15 APÓS 1 ANO.
) CAPITAL é o VALOR NO INICIO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$10.
) MONTANTE é o VALOR NO FINAL DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$15
) JUROS é o VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria R$5 (R$15–R$10).
) TAXA DE JUROS é a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO, obtido pela divisão JUROS. No exemplo seria $5 = 0,50 ou 50% em 1 ano. CAPITAL $10
) PRAZO é o PERÍODO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria 1 ano
EXEMPLO 3 – CASO DE COMPRA A PRAZO Um PEN DRIVE custa à vista R$100 ou a prazo em 6x de R$20, totalizando R$120.
) CAPITAL é o VALOR NO INICIO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria $100.
) MONTANTE é o VALOR NO FINAL DA OPERAÇÃO. No exemplo seria $120 ($100+$20)
) JUROS é o VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria $20 ($120–$100).
) TAXA DE JUROS é a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO, obtido pela divisão JUROS. No exemplo seria $20 = 0,20 ou 20% em 6 meses. CAPITAL. $100 ) PRAZO é o PERÍODO DA OPERAÇÃO. No exemplo seria 6 meses.
Uanderson Rebula de Oliveira
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INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES – JUROS E TAXAS DE JUROS
JUROS JURO É O VALOR DO ACRÉSCIMO DA OPERAÇÃO. Também conceituado por diversos autores como o “ALUGUEL QUE DEVE SER PAGO PELO USO DO DINHEIRO”; “REMUNERAÇÃO DO CAPITAL APLICADO”; “RENDIMENTO DE UMA OPERAÇÃO”.
DO EXEMPLO 3 (pág. 11)
JUROS = MONTANTE – CAPITAL JUROS = $120 – $100 JUROS = $20
TAXA DE JUROS É a TAXA DE CRESCIMENTO DO DINHEIRO. Portanto, uma taxa de juros revela o acréscimo de valor do dinheiro em certo tempo, devido a concessão do uso deste dinheiro. 9 ABREVIATURAS PARA PRAZOS E TAXAS DE JUROS Para facilitar a representação é usual no mercado a abreviatura dos prazos e taxas, a saber:
Taxa e abreviatura 5% a.d. 5% a.m. 5% a.s. 5% a.a.
SIGNIFICADO Significa uma taxa de juros de 5% ao dia. Significa uma taxa de juros de 5% ao mês. Significa uma taxa de juros de 5% ao semestre. Significa uma taxa de juros de 5% ao ano.
9 FORMA PERCENTUAL e UNITÁRIA DAS TAXAS DE JUROS: O MERCADO financeiro APRESENTA as taxas na FORMA PERCENTUAL (0,3% a.d.; 20% a.a.). Porém, para efetuar os CÁLCULOS, opera‐se na FORMA UNITÁRIA (0,003, 0,20) Veja abaixo:
APRESENTADA FORMA PERCENTUAL
0,3% a.d. 0,45% a.m. 2% a.s. 20% a.a.
TRANSFORMAÇÃO
CALCULADA FORMA UNITÁRIA
0,3
0,003 0,0045 0,02 0,20
/100 /100 2 /100 20 /100
0,45
EXEMPLO O juro de um capital de $1.000 aplicado a taxa de 20% a.a. será:
$1.000 x 0,20 = $200
ALTERAÇÃO PRÁTICA entre FORMA PERCENTUAL e UNITÁRIA: Forma percentual para UNITÁRIA FORMA PERCENTUAL TRANSFORMAÇÃO
FORMA UNITÁRIA
0,3
0,3% /100 Forma unitária para PERCENTUAL FORMA UNITÁRIA
0,02
TRANSFORMAÇÃO 0,02
x 100
0,003
Ou pular duas casas decimais para ESQUERDA
FORMA PERCENTUAL Ou pular duas casas decimais para DIREITA 2%
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EXERCÍCIO 1 - EXERCITANDO OS CONCEITOS... 1. Observe a propaganda ao lado e informe: Qual o capital?___________________________________________ Qual o valor do montante? _________________________________ Qual o valor do juro cobrado?_______________________________ Qual a taxa de juro?_______________________________________ R$718,80
Qual o prazo?____________________________________________
2. Observe a propaganda ao lado e informe: Qual o capital?___________________________________________ Qual o valor do montante? _________________________________ Qual o valor do juro cobrado?_______________________________ Qual a taxa de juro?_______________________________________ Qual o prazo?____________________________________________
3. Um Fusca estava sendo vendido à vista pelo valor de R$8.000. Robervaldo comprou a prazo pagando um valor total de $ 9.500, após 12 meses. Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________
Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________
Qual o prazo?_________________
4. Para um empréstimo de $500 foram pagos, além do valor do empréstimo, mais $70 de acréscimo, após 6 meses. Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________
Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________
Qual o prazo?_________________
5. A quantia de $2.000 foi aplicada em um banco e, após 1 mês, retornou ao investidor $2.040: Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________
Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________
Qual o prazo?_________________
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6. Numa aplicação na caderneta de poupança obtive um rendimento de $200 em 6 meses. Sabendo‐se que o valor aplicado foi de $1.600, informe: Qual o capital?_____________________ Qual o valor do montante? _________________________
Qual o valor do juro cobrado?_________________ Qual a taxa de juro?_______________________
Qual o prazo?_________________
7. Qual foi o valor dos juros resultante de uma operação em que foi investido um capital de $1.225 e que gerou um montante de $1.487? _____________________________________________________________________________________ 8. Qual o valor do investimento em um banco que gerou um resgate de $1.500, sabendo‐se que o rendimento desta aplicação foi de $378? _____________________________________________________________________________________
9. Converta as taxas a seguir da forma percentual para a forma unitária, e vice‐versa: a) 25%___________ b) 5%___________ c) 1,5%___________ d) 0,5%__________ e) 0,18%___________ f) 0,16___________ g) 0,0034___________ h) 0,07___________ i) 0,5__________ j) 0,65____________
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1.3 REGIME DE JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS A partir de agora passaremos a explorar o tema “JURO” com mais profundidade. No Mercado Financeiro existem 2 tipos de juros: os juros “simples” e “compostos”.
1.3.1 CONCEITO DE JURO SIMPLES
É AQUELE CALCULADO SOMENTE SOBRE O CAPITAL NO INÍCIO EMPREGADO.
EXEMPLO A: JOÃO TOMA EMPRESTADO DE UM BANCO $10.000 PELO PRAZO DE 3 MESES, À TAXA DE JUROS SIMPLES DE 5% AO MÊS. QUAL O MONTANTE A PAGAR?
Mês CAPITAL INÍCIO EMPREGADO 1º 10.000 2º 3º
JUROS
MONTANTE (ou valor futuro)
500 (10.000 x 0,05) 500 (10.000 x 0,05) 500 (10.000 x 0,05)
10.500 (10.000+500) 11.000 (10.500+500) 11.500 (11.000+500)
Observe que os juros foram calculados somente sobre o CAPITAL NO INÍCIO EMPREGADO ($10.000); isso quer dizer que os JUROS SERÃO SEMPRE CALCULADOS SOBRE UM ÚNICO VALOR. Nesse caso, os juros são simples e que o valor a ser pago no final do 3º mês é de $11.500.
Juros simples são largamente usados em países em que a inflação (perda do poder de compra) é muito baixa, ou em contextos em que as taxas de juros anuais são muito pequenas, pois nestes casos, a perda ao longo dos tempos é relativamente insignificante. (SANTOS, 2001, p. 14).
1.3.2 CONCEITO DE JUROS COMPOSTOS
É AQUELE CALCULADO SEMPRE SOBRE O MONTANTE DO PERÍODO ANTERIOR.
EXEMPLO B: JOÃO TOMA EMPRESTADO DE UM BANCO $10.000 PELO PRAZO DE 3 MESES, À TAXA DE JURO COMPOSTO DE 5% AO MÊS. QUAL O MONTANTE A PAGAR?
Mês 1º 2º 3º
CAPITAL
JUROS
MONTANTE (ou valor futuro)
10.000 10.500 11.025
500 (10.000 x 0,05) 525 (10.500 x 0,05) 551 (11.025 x 0,05)
10.500 (10.000 + 500) 11.025 (10.500 + 525) 11.576 (11.025 + 551)
Observe que os juros dos meses 2º e 3º ($525 e $551) foram calculados sobre o MONTANTE DO PERÍODO ANTERIOR ($10.500 e $11.025, respectivamente). Daí afirmamos que neste regime são calculados “JUROS SOBRE JUROS”. Nesse caso, o valor a ser pago no 3º mês é de $11.576, superior ao calculado pelos juros simples.
Juros compostos são largamente usados no Mercado Financeiro. Um exemplo é a caderneta de poupança, em que você aplica seu dinheiro e, após um mês, já apresente o capital acrescido de juros. Observe que a partir do 1º mês, mesmo que você não aplique nada mais, continuará rendendo juros sobre o montante do período anterior.
NOTAS: ) O crescimento do dinheiro ao longo do tempo é denominado CAPITALIZAÇÃO. ) Chamamos de REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO a maneira como os juros evoluem ao longo do tempo, podendo ser REGIME de JUROS SIMPLES e REGIME de JUROS COMPOSTOS.
Uanderson Rebula de Oliveira
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EXERCÍCIO 2 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE SISTEMAS DE JUROS.
1. Apliquei $1.000 no banco a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Determine o montante no final de cada período pelos sistemas de juros simples e compostos.
1.a. Sistema de Juros Simples:
Mês 1
CAPITAL no INÍCIO
JUROS
MONTANTE (ou valor futuro)
2
3
1
CAPITAL
JUROS
MONTANTE (ou valor futuro)
2
3
1.b. Sistema de Juros Compostos:
Mês
1.3.3 CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES: A Matemática Financeira utiliza determinadas “FÓRMULAS PADRÃO” para cálculo de juros. A forma de cálculo que estudamos foi apenas para entendimento do conceito. Os elementos a serem considerados para efetuarmos o CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES são: ELEMENTOS c = capital M = montante J = juros i = taxa de juro unitária n = prazo
FÓRMULAS
J = c.n.i e/ou
M = c(1 + i.n)
EXEMPLO – CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO A (pág. 15) João toma emprestado de um banco $10.000 pelo prazo de 3 meses, à taxa de juros simples de 5% ao mês. Qual o MONTANTE a pagar?
C M i n
= 10.000 = ? = 5% → 0,05 = 3 meses
CÁLCULO DETALHADO M = c(1 + i.n) M = 10.000 (1 + 0,05.3) M = 10.000 (1 + 0,15) M = 10.000 (1,15)
M = 11.500
Observe que M=11.500 é o mesmo resultado do exemplo A, da página 15, quando fizemos passo a passo.
Uanderson Rebula de Oliveira
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EXEMPLO 2– CONTINUAÇÃO DO EXERCÍCIO 1.a. (pág. 16) Apliquei $1.000 no banco a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Determine o MONTANTE no final do período pelo sistema de juros simples. C M i n
= 1.000 = ? = 10% → 0,10 = 3 meses
CÁLCULO M = c(1 + i.n) M = 1.000 (1 + 0,1.3) M = 1.000 (1,3) M = 1.300
EXEMPLO 3 Apliquei $2.000 à taxa de juros simples de 6 % a.a. por 2 anos. Quanto de JUROS recebi?
C J i n
= 2.000 = ? = 6% → 0,06 = 2 anos
CÁLCULO J = c.n.i J = 2.000 . 2 . 0,06 J = 240
EXEMPLO 4 A que TAXA DE JUROS simples foi empregado o capital de $2.000 que rendeu em 2 anos $240 de juro?
C J i n
= 2.000 = 240 = ? = 2 anos
CÁLCULO J = c.n.i 240 = 2.000 . 2 . i 240 = 4000i i = 0,06 ou 6%
EXEMPLO 5 Qual o CAPITAL necessário para se ter um montante de $15.000 daqui a 3 anos, a uma taxa de 8% a.a. no regime de juro simples?
C M i n
= ? = 15.000 = 8% → 0,08 = 3 anos
CÁLCULO M = c(1 + i.n) 15.000 = c(1 + 0,08.3) 15.000 = 1,24c C = 12.096
EXEMPLO 6 Um comerciante, após uma consulta de preços para a aquisição de um carro, recebeu a seguinte proposta: pagamento à vista de $15.000 ou 18.000, após 2 meses. Qual é a TAXA DE JUROS simples?
C M i n
= 15.000 = 18.000 = ? = 2 meses
CÁLCULO M = c(1 + i.n) 18.000 = 15.000(1 + i.2) 18.000 = 15.000 + 30.000i 18.000 ‐ 15.000 = 30.000i 3.000 = 30.000i i= 0,10 ou 10%
EXEMPLO 7 A papelaria Risque e Rabisque investiu um capital de $6.000 à taxa de juros simples de 5% a.m. Quantos MESES serão necessários para que ela tenha $7.800? C M i n
= 6.000 = 7.800 = 5% → 0,05 = ?
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CÁLCULO M = c(1 + i.n) 7.800 = 6.000 (1 + 0,05.n) 7.800 = 6.000 + 300n) 7.800 ‐ 6.000 = 300n 1.800 = 300n n = 6 meses
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EXERCÍCIO 3 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE JUROS SIMPLES 1 ‐ Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses à taxa de 1,5% a.m., para obtermos $441 de juro? (CRESPO, p88) C= $9.800
2 ‐ Tomou‐se emprestada a importância de $1.200, pelo prazo de 2 anos, à taxa de juros simples de 30% a.a. Qual será o valor do juro a ser pago? (CRESPO, p81). j=$720
3 ‐ Calcule o Capital que deve ser depositado numa aplicação sob o regime de juros simples, durante 8 meses, à taxa de 3,5% a.m. para se conseguir um Montante de $190. (SICSÚ, p9). C = $148
4 ‐ Temos um capital de $12.000 e o aplicamos a uma taxa de juros de simples de 2,4% a.m. Qual o valor a ser resgatado ao final de 10 meses? (SENAC, p21). M = 14.480
5 ‐ Qual o capital que, aplicado por 1 ano e 6 meses (18 meses), à taxa 1,2% a.m., rendeu $19.008? (CRESPO, p88). C=$88.000
6 ‐ Um investidor aplicou $200 por 4 meses à taxa de juros simples 1% a.m. Qual o montante? (Adapt. SICSÚ, p.15). M = $208
7 ‐ Se, ao final de 4 meses, Luís deve pagar $ 1.200 por um empréstimo, à taxa de juros simples de 3% a.m., qual foi o valor do seu empréstimo? (SENAC, p13). C = 1.071
8 ‐ Quantos meses são necessários para se obter um montante de $7.000, sabendo‐se que o capital investido foi de $5.000 à taxa de juros simples de 4% a.m. (PROFESSOR). n = 10 meses
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1.3.4 CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS: Os elementos a serem considerados para efetuarmos o CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS são: ELEMENTOS = capital = montante = juros = taxa de juro unitária = prazo
c M J i n
FÓRMULAS
Usadas para:
M = c (1 + i)n * i = (M/c) 1/n ‐ 1 * n = log(M/c) ÷ log(1+i)
M, c, j
i n
EXEMPLO 1– CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO B (pág. 15) João toma emprestado de um banco $10.000 pelo prazo de 3 meses, à taxa de juro composto de 5% ao mês. Qual o MONTANTE a pagar? C = 10.000 M = ? i = 5% → 0,05 n = 3 meses
CÁLCULO DETALHADO M = c (1 + i)n M = 10.000 (1 + 0,05)3 M = 10.000 (1,05)3 M = 10.000 (1,1576) M = 11.576
Para calcular (1,05)3 basta dispor de uma calculadora eletrônica que apresente a tecla Xy ou ^. Procedimento:
Introduza 1,05 Xy 3 = 1,1576
Observe que M=11.576 é o mesmo resultado do exemplo B, da página 15, quando fizemos passo a passo.
EXEMPLO 2– CONTINUAÇÃO DO EXERCÍCIO 1.b. (pág. 16) Apliquei $1.000 no banco a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Determine o MONTANTE no final do período pelo sistema de juros compostos. C M i n
= 1.000 = ? = 10% → 0,10 = 3 meses
CÁLCULO
M = c (1 + i)n M = 1.000 (1 + 0,1)3 M = 1.000 (1,1)3 M = 1.331
EXEMPLO 3 Qual o CAPITAL necessário para se ter um montante de $15.000 daqui a 3 anos, a uma taxa de 8% a.a. no regime de juro composto?
c M i n
= ? = 15.000 = 8% → 0,08 = 3 anos
CÁLCULO M = c (1 + i)n 15.000 = c(1 + 0,08)3 15.000 = 1,2597c C = 11.907
EXEMPLO 4 Apliquei $2.000 à taxa de juros composta de 6 % a.a. por 2 anos. Quanto de JUROS recebi?
c J i n
= 2.000 = ? = 6% → 0,06 = 2 anos
CÁLCULO
M = c (1 + i)n
M = 2000 (1 + 0,06)2 M = 2000 (1,06)2 M = 2247 J=M‐C → 2247‐2000 → J=247
____________ *SENAC, 2008, p.18
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EXEMPLO 5 A que TAXA DE JUROS composta foi empregado o capital de $2.000 que rendeu em 2 anos $240 de juro?
c M i n
= 2.000 = 2240 = ? = 2 anos
CÁLCULO
i = (M/c) 1/n ‐ 1
i = (2240/2000) 1/2 ‐ 1 i = (1,12) 1/2 ‐ 1 i = (1,12) 0,5 ‐ 1 i = 1,0583 – 1 → 0,058 ou 5,8%
EXEMPLO 6 A papelaria Risque e Rabisque investiu um capital de $6.000 à taxa de juros composto de 5% a.m. Quantos MESES serão necessários para que ela tenha $7.800? c M i n
= 6.000 = 7.800 = 5% → 0,05 = ?
CÁLCULO
n = log(M/c) ÷ log(1+i)
n = log(7800/6000) ÷ log(1+0,05) n = log(1,3) ÷ log(1,05) n = 0,1139 ÷ 0,0211 n = 5,4 meses 0,4 x 30 = 12 dias 5 meses e 12 dias
Usamos o logaritmo “log” para calcular períodos. No exemplo acima basta clicar na calculadora eletrônica Log 1,3 = 0,1139 e Log 1,05 = 0,211
___________________________________________________________________________________ EXERCÍCIO 4 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE JUROS COMPOSTOS 1‐ Luis Inácio toma emprestado do Banco Real $15.000 pelo prazo de 6 meses, à taxa de juro composto de 3% ao mês. Qual o MONTANTE a pagar? 2‐ Apliquei $3.000 no banco a uma taxa de 5% a.m. durante 8 meses. Determine o MONTANTE no final do período pelo sistema de juros compostos. 3‐ Qual o CAPITAL necessário para se ter um montante de $30.000 daqui a 5 anos, a uma taxa de 12% a.a. no regime de juro composto? 4 ‐ Apliquei $25.000 à taxa de juros composta de 14 % a.a. por 7 anos. Quanto de JUROS recebi? 5‐A que taxa de juros composta foi empregado o capital de $5.000 que rendeu em 4 anos $1.000 de juro? 6‐ Fiz um empréstimo bancário de $55.000 pelo prazo de 7 anos, à taxa de juro composto de 3% a.a. Qual o montante a pagar? 7‐ Apliquei $100.000 em títulos do governo federal a uma taxa de 0,9% a.m. durante 11 meses. Determine o montante no final do período pelo sistema de juros compostos. 8‐ Quanto preciso hoje para ter um montante de $90.000 daqui a 3 anos, a uma taxa de 9% a.a. no regime de juro composto?
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1.4 OPERAÇÕES DE DESCONTO A QUANTIA A SER ABATIDA DO MONTANTE, QUANDO O PAGAMENTO É FEITO ANTES DO DIA DO VENCIMENTO É DENOMINADA DESCONTO. •
Todo título de crédito (duplicatas, notas promissórias, cheques etc.) tem uma data de vencimento; porém, o devedor pode realizar o pagamento antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto. Portanto, quando o devedor efetua o pagamento antes do dia predeterminado, ele se beneficia (tem uma recompensa) com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento.
•
A operação consiste na aplicação de uma taxa de juros, denominada taxa de desconto, sobre o montante, durante um determinado período, reduzindo‐lhe o valor.
•
Ora, o credor pode precisar do dinheiro antes da data de vencimento do título e para isso ele concede um desconto sobre o valor que ele tenha a receber.
•
Regra fundamental: A TAXA DE DESCONTO INCIDE SOBRE O MONTANTE.
Basicamente, existem dois sistemas de descontos: Desconto simples e Desconto composto.
1.4.1 Desconto Simples O desconto comercial simples pode ser calculado aplicando a seguinte expressão matemática: D M i n
ELEMENTOS = valor do desconto = Montante (ou valor nominal) = taxa de desconto unitária = prazo ou tempo
FÓRMULA BÁSICA D = M * i *n
Exemplo 1. Qual o desconto simples de um título no valor de R$ 50.000 se ele for pago 2 meses antes do vencimento à uma taxa de 5 % a.m.? Qual será o valor atual? D = M * i *n D = ? M = 50.000 D = 50.000 * 0,05 * 2 i = 5% → 0,05 D = 5.000 n = 2 meses
Valor atual = M‐D Valor atual = 50.000 – 5.000 = 45.000
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Exemplo 2. Um título de $10.000 vence daqui a 3 meses. Se quiser pagar hoje, a instituição financeira oferece um desconto simples com uma taxa de desconto de 3,5% ao mês. Qual o valor de desconto? Qual o valor atual? D = M * i *n D = ? M = 10.000 D = 10.000 * 0,035 * 3 i = 3,5% → 0,035 D = 1.050 n = 3 meses
Valor atual = M‐D | Valor atual = 10.000 – 1.050 = 8.950
1.4.2 Desconto Composto O desconto racional composto é utilizado basicamente em operações de longo prazo. Pode ser calculado aplicando a seguinte expressão matemática: Va M i n
ELEMENTOS = valor atual = Montante (ou valor nominal) = taxa de desconto unitária = prazo ou tempo
FÓRMULA BÁSICA Va = M (1+ i)n
Exemplo 1. Qual o desconto composto de um título no valor de R$ 50.000 se ele for pago 2 meses antes do vencimento à uma taxa de 5 % a.m.? Qual será o valor atual?
Va M i n
= ? = 50.000 = 5% → 0,05 = 2 meses
Va = M (1+ i)n Va = 50.000 = 45.351 (1+0,05)2
Valor atual = 45.351 | Desconto = 50.000 – 45.351 = 4.649, Exemplo 2. Um título de $10.000 vence daqui a 3 meses. Se quiser pagar hoje, a instituição financeira oferece um desconto composto com uma taxa de desconto de 3,5% ao mês. Qual o valor de desconto? Qual o valor atual?
Va M i n
= ? = 50.000 = 3,5% → 0,035 = 3 meses
Va = M (1+ i)n Va = 10.000 = 9.019, (1+0,035)3
Valor atual = 9.019 | Desconto = 10.000 – 9.019 = 981,
_____________________________________________________________________________________ EXERCÍCIO 5 - EXERCITANDO OS CONCEITOS DE DESCONTOS 1. Qual o desconto simples e composto de um título no valor de R$ 40.000 se ele for pago 4 meses antes do vencimento à uma taxa de 4 % a.m.? Quais os valores atuais? 2. Um título de $80.000 vence daqui a 6 meses. Se quiser pagar hoje, a instituição financeira oferece um desconto com taxa de 2% ao mês. Qual o valor de desconto simples e composto? Quais os valores atuais? 3. Determine o valor atual de um título de $800, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto de 2% a.m.. Considerar simples e composto. (Crespo, p.128). 4. Qual o desconto que um título de $5.000 sofre ao ser descontado 3 meses antes de seu vencimento, à taxa de 2,5% a.m. Considerar simples e composto. (Crespo, p. 128)
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1.5 TAXA EFETIVA, NOMINAL E EQUIVALENTE Taxa efetiva
É aquela em que a unidade de tempo de referência coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.
Exemplos:
1% ao mês com capitalização mensal
7% ao ano com capitalização anual
Taxa Nominal
É aquela em que a unidade de tempo de referência não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.
Exemplos:
3% ao mês com capitalização anual
12% ao ano com capitalização mensal
Taxa Equivalente
É aquela que, no regime de juros compostos, ao ser aplicada ao mesmo capital, num mesmo intervalo de tempo, produzem montantes iguais. Exemplo:
1% ao mês é equivalente a 12,68% ao ano.
; Informar a um poupador que um título rende 12% a.a. ou 1% a.m. não está correto. Na realidade, 1% a.m. equivale a 12,68% a.a, em função dos juros compostos. ; Informar ao poupador que um título rende 36% a.a. ou 3% a.m. também não procede. Na realidade, 36% a.a. é o mesmo que 2,6% a.m. ; O comerciante quando diz ao prestamista que a taxa de juros será 4% ao mês ou 48% ao ano, está dando uma falsa informação. Na verdade, 4% ao mês equivale a 60,1% ao ano.
A equivalência das taxas indica uma simples mudança na unidade de contagem do tempo da operação. Expressões matemáticas básicas e de fácil manuseio que nos fornece a equivalência de duas taxas são: ELEMENTOS FÓRMULAS RELACIONADAS ia tx anual Ib tx bimestral is tx semestral im tx mensal (1+ia)1 => (1+is)2 => (1+it)4 => (1+ib)6 => (1+im)12 => (1+id)360 it tx trimestral id Tx dária
(1+ia)1 → Um ano
Considerando que:
(1+is)2 → Um ano têm 2 semestres (1+it)4 → Um ano têm 4 trimestres
(1+ib)6 → Um ano têm 6 bimestres (1+im)12→ Um ano têm 12 meses (1+id)360 → Um ano têm 360 dias
Observe que essas fórmulas se relacionam. Assim, se eu quero saber a taxa anual e tenho a taxa mensal, usarei a seguinte expressão: (1+ia)1 => (1+im)12. Caso eu tenha a taxa anual e queira saber a taxa mensal, usarei a mesma expressão.
Portanto, podemos montar uma tabela orientativa, com as seguintes fórmulas relacionadas:
Ano para mês → (1+ia)1 => (1+im)12 Ano para semestre → (1+ia)1 => (1+is)2 Ano para trimestre → (1+ia)1 => (1+it)4
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Ano para bimestre → (1+ia)1 => (1+ib)6 Ano para dia → (1+ia)1 => (1+id)360
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Exemplo 1. Qual a taxa anual de juros equivalente a 1% Exemplo 2. Qual a taxa mensal de juros equivalente a ao mês? 12,68% ao ano?
= ? ia im = 1% → 0,01
(1+ia)1 => (1+im)12 (1+ia) = (1+0,01)12 ia = 1,0112 ‐ 1 ia = 0,1268 ou 12,68%
ia = 12,68% → 0,1268
im = ?
(1+ia)1 => (1+im)12 (1+0,1268)1 = (1+im)12 (1,1268) 1/12 – 1 = im im = 0,0099 ou 1%
Exemplo 3. Qual a taxa anual de juros equivalente a 3% Exemplo 4. Qual a taxa mensal de juros equivalente a 36% ao ano? ao mês?
ia = ? im = 3% → 0,03
(1+ia)1 => (1+im)12 (1+ia) = (1+0,03)12 ia = 1,0312 ‐ 1 ia = 0,4257 ou 42,57%
ia = 36% →0,36 im = ?
(1+ia)1 => (1+im)12 (1+0,36)1 = (1+im)12 (1,36) 1/12 – 1 = im im = 0,026 ou 2,6%
Exemplo 5. Qual a taxa semestral de juros equivalente Exemplo 6. Qual a taxa trimestral de juros equivalente a 12% ao ano? a 30% ao ano?
ia = 12% → 0,12 is = ?
(1+ia)1 => (1+is)2 (1+0,12)1 = (1+is)2 1,12 1/2 – 1 = is is = 0,0583 ou 5,83%
ia = 30% → 0,30 it
= ?
(1+ia)1 => (1+it)4 (1+0,3)1 = (1+it)4 (1,3) 1/4 – 1 = im it = 0,0677 ou 6,77%
Exemplo 7. Qual a taxa mensal de juros equivalente a Nota: A taxa equivalente também pode ser obtida pela fórmula abaixo, desde que partindo de uma taxa maior para 40% ao semestre?
im = ? is = 40% →0,40
2
12
(1+is) => (1+im) (1+0,4)2 = (1+im)12 (1,4)2/12 ‐ 1 = im im = 0,0576 ou 5,75%
uma menor (por exemplo, ano para mês ou mês para dia): ieq = taxa equivalente procurada. n/360 ‐ 1 ieq = (1+i) i = taxa dada. n = quant. dias da taxa procurada. Ex.Qual a taxa mensal de juros equivalente a 36% ao ano? ieq = (1+i)n/360 – 1 ieq = (1+0,36)30/360 – 1 ieq = 2,6% a.m.
EXERCÍCIO 6 - EXERCITANDO CONCEITOS DE TAXAS EQUIVALENTES 1. Qual a taxa anual de juros equivalente a 4% ao mês? 2. Qual a taxa mensal de juros equivalente a 47% ao ano? 3. Qual a taxa semestral de juros equivalente a 18% ao ano? 4. Qual a taxa trimestral de juros equivalente a 25% ao ano? 5. Qual a taxa mensal de juros equivalente a 35% ao semestre?
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Unidade 2 FLUXO DE CAIXA
Em Finanças, o fluxo de caixa (designado em inglês por "cash flow"), refere-se ao montante de caixa recebido e gasto por uma empresa durante um período de tempo definido, algumas vezes ligado a um projeto específico.
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2.1 VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO “Tempo é dinheiro”. Sem sombra de dúvida, o dinheiro tem valor no tempo. Deve‐se ter em mente que o capital (dinheiro, no caso presente) assume valores diferentes em datas diversas. Esta idéia é de fundamental importância. Inflação A disponibilidade de R$100,00 hoje não é equivalente a se ter R$100,00 daqui a um ano. Pois o que se compra hoje com este valor, pode não ser mais adquirido daqui a um ano com a mesma quantia, em decorrência da inflação (perda do poder de compra) Para países com economias inflacionárias históricas, como é o caso brasileiro, este fato é de fácil aceitação. Mesmo que se desconsiderem os efeitos da inflação, a concepção permanece. Aplicações no mercado financeiro Imagine a questão por outra ótica: R$100,00 hoje, podem ser aplicados no mercado financeiro a uma taxa de juros de 10% a.a., por exemplo. Daqui a um ano, a pessoa terá um saldo de R$110,00. Portanto, diferente de R$100,00 iniciais. Pela mesma razão, um empresário investe um determinado capital numa oportunidade de negócio, esperando que, após algum tempo, haja um montante de capital superior ao inicialmente investido No mercado financeiro, R$100,00 hoje será igual R$100,00 daqui a um ano, somente se permanecer guardado num cofre ou depositado em conta corrente não remunerada de um banco comercial. Nesta segunda situação, é ignorar a possibilidade de se aplicar o valor em operações financeiras, como: caderneta de poupança, certificado de depósito bancário, fundo de renda fixa, entre outras, pelo prazo de um ano. Portanto, um capital numa data terá o mesmo valor em outra data somente não havendo alternativa de investimento. Em países com escassez de recursos financeiros e uma infra‐estrutura deficiente, isso é particularmente mais verdadeiro. Em outras palavras, nessa situação, haverá uma demanda superior à oferta de capital. Em conseqüência, geralmente ocorre uma disposição para tomar dinheiro por empréstimo, mediante o pagamento de juro. De outra forma: uma pessoa dispõe de um dado capital: Numa data futura, espera ter:
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2.2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA Na verdade, de uma forma ligeira já vimos alguns fluxos de caixa nesta apostila, mas não conforme as regras da Matemática Financeira. O conceito de fluxos de caixa é muito ilustrativo e vale a pena estudá‐ lo, já que todas as operações financeiras podem ser representadas por eles de uma forma simples, elegante e sintética. A palavra fluxo nos dá a idéia de movimento. A palavra caixa contém a idéia de capital, de dinheiro. Assim, uma possível expressão sinônima para fluxo de caixa seria MOVIMENTO DE CAPITAL. O movimento de capital a cada período, então, é considerado um fluxo de caixa. Assim, ao longo de um certo prazo, poderemos ter vários fluxos de caixa, o que representaremos através de um diagrama de fluxos de caixa. Vamos ilustrar um diagrama de fluxo de caixa com exemplo de um investimento de $100, que retornou $150, após 6 meses:
Observe que, de uma forma geral, um diagrama é composto de uma linha horizontal ‐ a linha do tempo ‐ que mostra os períodos relevantes para o mesmo. Nestes períodos, temos flechas verticais que sinalizam os fluxos, respeitando‐se a seguinte convenção: ; evento que significa saída de caixa (investimento) arbitrar‐se negativo e o representa por seta descendente (para baixo ↓); ; evento que significa entrada de caixa (direito) são representados por setas ascendentes (para cima ↑).
O fluxo de caixa também pode ser representado da seguinte forma: Período JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL
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Saídas $100
Entradas ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ $150
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COLI, Luis Eurico Junqueira. Textos acadêmicos: Matemática financeira. Lavras: MG. UFLA/FAEPE, 2004. 213p. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Comercial e Financeira fácil. 11 ed. São Paulo: Saraiva, 1996. 238 p. HALFELD, Mauro. Investimentos: como administrar melhor seu dinheiro. 3 ed. São Paulo: Fundamento, 2008. 167p. MARTINS, José Pio. Educação financeira ao alcance de todos. São Paulo: Fundamento, 2004. 104 p. MINELLO, Roberto; RODRIGUES, Marcelo. Matemática financeira e comercial. Rio de Janeiro: Ferreira, 2009. 280 p. NETO, Alexandre Assaf. Matemática financeira e suas aplicações. 5 ed. São Paulo: Atlas, 2000. 427 p. SANTOS, João Carlos dos. Matemática financeira com a calculadora HP12. São Paulo: Villipress, 2001. 135p SENAC. Matemática Financeira. Rio de Janeiro: SENAC Nacional, 2008. 88p. SICSÚ, Bernardo. Fundamentos da Matemática Financeira. Rio de Janeiro: Fundo de cultura, 2004. 88 p.
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