Artigo Original

DOI:10.5902/2179460X14617

Artigo original Ciência e Natura, Santa Maria, v. 37 Ed. Especial PROFMAT, 2015, p. 511–524 Revista do Centro de Ciências Naturais e Exatas - UFSM Ciência e Natura,ISSN Santaon-line: Maria, v. 36 n. 2 jun. 2014, p. XX− XX ISSN impressa: 0100-8307 2179-460X Revista do Centro de Ciências Naturais e Exatas – UFSM ISSN impressa: 0100-8307 ISSN on-line: 2179-460X

DOI: http://dx.doi.org/105902/2179460X

O uso de Dobraduras como recurso para o ensino da geometria plana: história, teoremas e problemas. Use of folding as a resource for the teaching of plane geometry: stories, theorems and problems.

Daniel Brandão Menezes1 e Jonatan Floriano da Silva2 1

Mestre em Matemática pelo Profmat - Professor da Universidade Christus nos cursos de Engenharia Civil e de Produção e Arquitetura. Universidade Federal do Ceará, Brasil [email protected] 2

Universidade Federal do Ceará, Brasil [email protected]

Resumo A preocupação no desempenho do professor do ensino básico, mediante a nova realidade da educação matemática brasileira motivou o início deste estudo, uma vez que a aprendizagem sofre constantes modificações e daí a necessidade de acompanhar as mudanças ocorridas em tal cenário. Diante disso, o objetivo deste trabalho é possibilitar uma fonte literária para o professor do ensino básico que aprofunde seu conhecimento teórico a fim de transmitir o conteúdo de Geometria Euclidiana Plana com o uso de materiais concretos em suas salas de aula. A metodologia utilizada foi o levantamento bibliográfico de obras que focam os principais resultados necessários ao aprendizado do tema de geometria ensinado por meio de dobras. Como resultado, pode-se citar a criação de um texto sobre a história das dobras, Teoremas e problemas que envolvem a geometria e o modo diverso de resolvê-los, por meio de uma forma lúdica e também teórica. Palavras-chave: Geometria Plana. Matemática – Estudo e ensino. origami.

Abstract The concern in the performance of school teachers through the new reality of the Brazilian mathematics education motivated the beginning of this study, since learning undergoes constant changes and hence the need to monitor the changes in such a scenario. Thus, the objective of this work is to enable a literary source for school teachers to deepen their theoretical knowledge in order to convey the contents of Euclidean Plane with the use of concrete materials in their classrooms. The methodology used was the literature survey of articles that focus on the main results needed for the theme of geometry taught through learning folds. As a result, we can mention the creation of a text on the history of folding, theorems and problems involving geometry and the different ways of solving them, through a playful and also theoretically. Keywords: Plane Geometry. Mathematic - Studying and teaching. Origami.

submissão: 2014-06-30 Aceito: 2014-12-12

Ciência e Natura, v. 37 Ed. Especial PROFMAT, 2015, p. 511–524

1 Introdução A formação dos professores do Ensino Básico tem sido motivo de discussões no cenário educacional brasileiro, uma vez que os índices de qualificação escolar não apresentam resultados positivos, seja na aprovação anual, para atingir a nova série, na tentativa de concursos ou vestibulares, até mesmo, no mercado de trabalho. Essa realidade se torna mais alarmante quando se trata da disciplina de Matemática quando os jovens por motivos diversos encontram dificuldades em seu aprendizado. Muitas tentativas de sanar tais deficiências são propostas como realizar uma formação continuada com o docente a fim de que esteja sempre aprimorando as ferramentas de ensino utilizadas em sala de aula. Quando se trata de ensinar uma disciplina no ensino básico, muitos questionamentos devem ser feitos previamente: Por que? Para quê? O que? Para quem? Tais dúvidas não envolvem somente os alunos como também o docente e, portanto, exigirá uma performance mais qualificada desse profissional. O ensino de uma disciplina, seja qual for, não poderá suprimir tais questionamentos, pois envolvem uma amplitude de conhecimento que a atual sociedade tem cobrado no quotidiano. Ou seja, ensinar não significa mais só transmitir um determinado conhecimento por meio de uma aula tradicional e sim, criar mecanismos que naturalmente norteiam o aluno ao encontro da aprendizagem e a situações que propiciem a aplicação da teoria na prática. Essa é uma situação preocupante para a disciplina de matemática, já que os professores não tiveram, quando estudavam ainda no ensino básico, um modelo educacional voltado para essa nova visão de ensino. Eis o maior desafio para a formação de docentes: torná-los aptos a trabalharem nos novos moldes que a educação exige e, concomitantemente, capazes de aplicar o conhecimento com novas possibilidades em suas salas de aula. “A situação ensinar/aprender é norteada pela satisfação que o indivíduo sente em usar a ciência para seu ajustamento ao meio, para suavizar suas lutas, para resolvendo problemas dar-lhe maior condição de cidadão. É nessa direção que se providencia a formação de hábitos, atitudes e desenvolvimento de habilidades que lhe possibilitarão ultrapassar barreiras e

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desfrutar das oportunidades férteis que a vida moderna lhe apresenta." (BRITTO, 1984, p. 150).

Todos esses comentários se revelam consoantes ao o que preconizados nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s), pois o desenvolvimento da educação trouxe consigo a necessidade de que os estudantes tenham a capacidade de solucionar problemas, uma postura diferenciada na tomada de decisões e interpretação das mais variadas situações, bem como, aperfeiçoar os valores sociais e de trabalho em equipe. Segundo ainda os PCN’s, a comunicação por meio de códigos e a interpretação e modelagem de uma realidade são percebidas por meio da matemática, ou seja, é nessa disciplina que os alunos poderão criar muitos elos com a realidade e ajudá-los em seu aprendizado. A partir deste momento, a aprendizagem não será mais pontual e sim interdisciplinar voltado para o cotidiano como, por exemplo, a leitura e compreensão do espaço e das figuras na geometria. Segundo D’Ambrósio (1996), a matemática em sala de aula atua como: “[...] uma estratégia desenvolvida pela espécie humana ao longo de sua história para explicar, para entender, para manejar e conviver com a realidade sensível, perceptível, e com o seu imaginário, naturalmente dentro de um contexto natural e cultural.” (D’AMBROSIO, 1996, p.7).

A resolução de problemas, além de ser trabalhada pela parte algébrica da matemática, possui atuação na geometria a partir do momento em que exige a capacidade de visualização de figuras planas ou espaciais e suas propriedades geométricas dos corpos encontrados usualmente. Essa é uma das áreas mais antigas e que se tem revelado uma aliada no ensino da matemática, pois inúmeros estudos são realizados com a geometria e materiais concretos, ou seja, o uso de material didático manipulável tem sido muito utilizado nos estudos do conteúdo de geometria. Segundo Deneca e Pires (2008, p. 4), muitos foram os educadores que no transcorrer dos séculos falaram sobre a importância do material visual-tátil como ferramenta incentivadora do aprendizado, porém Carvalho (2011, p. 107) colabora afirmando que o material didático que pode ser manipulado não exerce função apenas

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Menezes e Silva : O uso de Dobraduras como recurso para o ensino da geometria plana: história, teoremas e problemas figurativa e sim deve ser dada ênfase às operações que podem ser desenvolvidas. Um interessante exemplo de material didático manipulável é o uso de dobraduras de papel. O custo é acessível, a aplicabilidade é eficaz e propicia uma ótima possibilidade de, além de obter a visualização dos resultados, usar o tato para realização dos trabalhos, o que mostra o quão divertido pode ser o aprendizado da matemática utilizando uma folha de papel e algumas manobras orientadas pelo professor. Essa preocupação com a formação dos professores do ensino básico e o uso de recursos diferenciados para o ensino da matemática formarão o bojo deste artigo: esta obra propicia uma ferramenta literária imprescindível para que o docente possa utilizar como material de estudos e, consequentemente, repassar em momento apropriado o conteúdo aprendido para seus alunos. O objetivo principal deste trabalho é criar um material de apoio baseado no estudo da Geometria Euclidiana utilizando dobraduras de papel para mostrar alguns conceitos e teoremas matemáticos acompanhados de suas respectivas demonstrações algébricas justificando os movimentos das dobras. O público-alvo será o professor do ensino básico, preferencialmente, dos 1° e 2° anos do nível médio, os quais já deram uma sólida apresentação dos conteúdos básicos matemáticos aos estudantes e são os docentes que trabalharão a Geometria de uma maneira mais axiomática e menos informal e intuitiva. Os objetivos específicos são inicialmente criar uma obra completamente voltada para o estudo da geometria plana utilizando para seus aprendizados as dobras de papel, construir os principais conceitos e Teoremas da geometria plana por meio da manipulação do papel e fomentar a vontade de aprender geometria por meio de uma atividade lúdica realizada pelos professores. Este artigo foi realizado sob a metodologia de levantamento bibliográfico e por meio de pesquisas exploratórias e descritivas, em que foi priorizada a aplicação dos temas desenvolvidos dirigida para a resolução de conceitos e Teoremas. A obra que deu início aos trabalhos foi a Dissertação de Liliana Cristina Nogueira Monteiro a qual foi apresentada para a obtenção do título de Mestre na Universidade de Lisboa no ano de 2008, porém outros trabalhos

acadêmicos, livros, artigos e literaturas eletrônicas foram utilizados para complementar a pesquisa.

2 Descrição Axiomática As técnicas de dobragem mostradas neste trabalho são realizadas em linhas retas, apesar de serem conhecidas também modelos que trabalham com linhas curvas. Segundo Liliane (2008, p. 08) foi em meados da década de 70 que as dobragens em origami foram objeto de estudos em que eram enumeradas suas possíveis combinações. Neste cenário destacou-se Humiaki Huzita, um matemático japonêsitaliano (nasceu no Japão, porém viveu a maior parte de sua vida na Itália) que ficou conhecido por formular, no final da década de 70, os primeiros seis axiomas, chamados inicialmente de operações básicas. Eram usados para definir uma única dobra que pudesse alinhar várias combinações de pontos e retas já pré-existentes, ou seja, descrevia a matemática de dobrar o papel com o intuito de resolver problemas de construção geométrica. Ramirez e Lopez (2013, p.03) afirmam que estes axiomas também são relacionados, não somente com os conceitos da geometria euclidiana, como também, com problemas de cálculo diferencial e geometria analítica. Anos mais tarde, em 1989, Jacques Justin, ao publicar um artigo, sugeriu que as combinações possíveis com uma única dobragem eram sete e não mais seis como os estudos de Huzita revelavam. Ainda de acordo com as pesquisas de Liliane (2008, p. 08), em 2002 foi formalizado o sétimo axioma, ao apresentar uma dobragem que não era descrita nos estudos já realizados sobre o assunto e, então, os sete axiomas ficaram conhecidos como os Axiomas de Huzita-Hatori que mesmo em períodos diferentes trouxeram à tona a completude da lista. Alguns autores ainda ratificaram tais axiomas, como o físico americano Robert Lang que publicou em 2003 um estudo que demonstra a existência de apenas sete axiomas. Esses sete axiomas definem tudo que é possível de construir com uma única dobragem correlacionando retas e pontos. Os Axiomas de Huzita-Hatori são: Axioma 1: Dados dois Pontos, 𝑃𝑃1 e 𝑃𝑃2 , há uma única dobra que passa pelos dois pontos.

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Axioma 2: Dados dois pontos, 𝑃𝑃1 e 𝑃𝑃2 , há uma única dobragem que os torna coincidentes. Axioma 3: Dadas duas retas 𝑟𝑟1 e 𝑟𝑟2 , existe apenas uma dobra que faz coincidir 𝑟𝑟1 com 𝑟𝑟2 . Axioma 4: Dados um ponto 𝑃𝑃 e uma reta 𝑟𝑟, existe uma única dobra que é perpendicular a 𝑟𝑟 que passa por 𝑃𝑃. Axioma 5: Dados dois pontos distintos,  𝑃𝑃 e 𝑃𝑃′ e uma reta 𝑟𝑟, existe uma dobra que faz incidir 𝑃𝑃 em 𝑟𝑟 e que passa por 𝑃𝑃′. Axioma 6: Dados dois pontos distintos, 𝑃𝑃 e 𝑃𝑃′ e duas retas distintas 𝑟𝑟 e 𝑟𝑟′, existe uma dobra que faz incidir 𝑃𝑃 sobre 𝑟𝑟 e 𝑃𝑃′ sobre 𝑟𝑟′. Axioma 7: Dados um ponto 𝑃𝑃 e duas retas 𝑟𝑟 e 𝑠𝑠, existe uma dobra que faz coincidir 𝑃𝑃 em 𝑟𝑟 e é perpendicular a 𝑠𝑠.

3 Conceitos Geométricos Utilizando Dobras

desdobrar a folha, observa-se o resultado, ou seja, a dobradura construída exemplifica uma reta única que contém 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵.

Construção 3.1.3: Ponto Médio de um Segmento

Será denominado ponto médio de um segmento de reta ao ponto equidistante das extremidades. Após a construção de uma reta qualquer serão marcados dois pontos sobre a dobradura construída e logo após uma nova dobradura será feita, unindo o Ponto 𝐴𝐴 com o 𝐵𝐵. Ao desdobrar deve-se marcar o ponto 𝑀𝑀 de interseção das retas construídas pelas dobraduras. A partir do segundo passo 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝑀𝑀𝑀𝑀 estão sobrepostos, ou seja, tais segmentos são iguais e 𝑀𝑀 é o ponto médio de 𝐴𝐴𝐴𝐴.

Esta parte verificará e fixará conceitos elementares estudados na geometria plana com o uso de dobraduras.

3.1 Construções Primitivas Construção 3.1.1: Retas Concorrentes Duas retas são concorrentes quando se interceptam em um único ponto. Com uma dobradura qualquer na folha, deve ser construída uma reta 𝑟𝑟 e fixado um ponto 𝑃𝑃 sobre 𝑟𝑟, tal que a partir dele seja realizada uma nova dobra fazendo concorrer à semirreta s formada por 𝑃𝑃 e a reta 𝑟𝑟. Ao desdobrar a folha, é verificada a existência de duas retas concorrentes em 𝑃𝑃.

Figura 2: Construção do ponto médio.

Construção 3.1.4: Ângulos Opostos pelo Vértice são Congruentes São construídas duas retas concorrentes 𝑟𝑟 e 𝑠𝑠 com interseção em 𝑂𝑂 tal que 𝐴𝐴 e 𝐴𝐴′ estejam na reta 𝑟𝑟, e 𝐵𝐵 e 𝐵𝐵′ pertençam a 𝑠𝑠. Então os ângulos 𝐴𝐴Ô𝐵𝐵 e 𝐴𝐴′Ô𝐵𝐵′ A’ÔB’ são opostos pelo vértice e será mostrado que eles são iguais. A partir da concorrência das retas 𝑟𝑟 e 𝑠𝑠, dobre a folha sobre 𝑟𝑟 e sobreponha as semirretas 𝑂𝑂𝐴𝐴′ e 𝑂𝑂𝑂𝑂 e outra dobradura com 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝑂𝑂𝐵𝐵′ . Ao desdobrar percebese que os ângulos 𝐴𝐴Ô𝐵𝐵 e 𝐴𝐴′ Ô𝐵𝐵′ são congruentes, pois são sobrepostos conforme a figura 3.

Figura 1: Construção de retas concorrentes.

Construção 3.1.2: Dados Dois Pontos Distintos, Existe uma Única Reta que Contém esses Pontos Marcam-se dois pontos 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵 distintos em um papel e logo em seguida é feita uma dobradura passando concomitantemente pelos pontos. Ao

Figura 3: ângulos opostos pelo vértice.

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Construção 3.1.5: Construção de Retas Perpendiculares por um Ponto Em um plano, dados um ponto 𝑃𝑃 e uma reta 𝑟𝑟 existe uma única reta 𝑠𝑠 perpendicular a 𝑟𝑟. O caso será dividido em duas partes, sendo a primeira com o ponto 𝑃𝑃 pertencendo à reta 𝑟𝑟: Será construída, através de uma dobradura, a reta 𝑟𝑟 e marcado um ponto 𝑃𝑃 sobre a reta. Logo após, será feita uma dobradura de tal modo que as semirretas formadas pelo ponto 𝑃𝑃 coincidam e formem uma nova reta 𝑠𝑠. É observado, portanto, que os ângulos formados pelas retas 𝑟𝑟 e 𝑠𝑠 se sobrepõem, ou seja, são iguais e vale 90°, cada. Então os ângulos formados pelas retas 𝑟𝑟 e 𝑠𝑠 resultam em ângulos retos.

Figura 4: Dobras iniciais para a construção de retas perpendiculares. A próxima parte será mostrada com o ponto 𝑃𝑃 sendo externo à reta 𝑟𝑟. Deve ser feito uma dobradura pela reta 𝑟𝑟 de tal maneira que o ponto 𝑃𝑃 fique exposto e logo após deve-se construir uma dobradura passando por 𝑃𝑃 e interceptando as duas semirretas formadas pela dobra na reta 𝑟𝑟. Ao desdobrar é verificada a construção de duas retas perpendiculares.

3.2.1 Triângulo Dados três pontos 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 e 𝐶𝐶 não colineares, a reunião dos segmentos 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝐵𝐵𝐵𝐵, chama-se triângulo. Sejam três pontos 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 e 𝐶𝐶 não colineares, ao serem construídas dobraduras que passem por 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝐵𝐵𝐵𝐵, verifica-se que o lugar geométrico formado pela união de tais dobras, chamadas de lados, é um triângulo 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴.

Construção 3.2.1.1: Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Esse resultado pode ser construído a partir de um triângulo qualquer formado com um papel. Será colocado de tal maneira que o vértice 𝐴𝐴, com o maior ângulo, fique em cima com o intuito de melhor visualizar o que será realizado. A partir daí, serão encontrados os pontos médios 𝐸𝐸 e 𝐹𝐹 respectivos dos lados 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝐴𝐴𝐴𝐴. É feita uma dobra no encontro de 𝐸𝐸𝐸𝐸 e o vértice 𝐴𝐴 encontra o lado 𝐵𝐵𝐵𝐵 no ponto 𝐷𝐷. É relevante salientar que o segmento 𝐸𝐸𝐸𝐸 é paralelo ao lado 𝐵𝐵𝐵𝐵, ou seja, base média do triângulo 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. Logo após, os vértices 𝐵𝐵 e 𝐶𝐶 devem ir ao encontro do ponto 𝐷𝐷 formando uma dobra perpendicular ao lado 𝐵𝐵𝐵𝐵. Deve-se atentar para a congruência dos triângulos Δ𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 e Δ𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 pelo critério 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 (lado – lado – lado).

3.2 Construções de Figuras Geométricas Para as construções com dobraduras que serão trabalhados alguns conceitos dos triângulos, será importante utilizarmos uma folha de papel na forma de um quadrado, que pode ser construído e provado com uma simples observação. Nota-se que os triângulos Δ𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 e Δ𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 pelo critério 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 (lado – ângulo - lado).

Figura 5: Construção do quadrado por meio de dobras.

Figura 6: Construção da soma dos ângulos internos de um triângulo.

Construção 3.2.1.2: Triângulo Equilátero Um triângulo é dito Equilátero quando os seus três lados são congruentes, ou seja, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴. Seja um quadrado 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, dobremos o lado 𝐴𝐴𝐴𝐴 sobre o lado 𝐷𝐷𝐷𝐷, o vértice representado pelo ponto 𝐶𝐶 será levado ao encontro da dobra feita e será fixado um ponto 𝐸𝐸. De maneira análoga será feito com o vértice representado pelo ponto 𝐵𝐵. O triângulo 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 formado pelas

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três dobras é equilátero, uma vez que 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 e 𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝐵𝐵𝐵𝐵.

𝑠𝑠 é mediatriz do segmento 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝑠𝑠 é perpendicular à reta 𝑟𝑟 interceptando-se em seu ponto médio.

3.2.2 Pontos Notáveis do Triângulo Construção 3.2.2.1: Incentro Figura 7: Construção do triângulo equilátero.

Construção 3.2.1.3: Reta Bissetriz Interna Uma bissetriz interna de um triângulo é o segmento com extremidades num vértice e no lado oposto que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes. Considera-se, pois, duas retas 𝑟𝑟 e 𝑠𝑠 concorrentes e dois pontos 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵 contidos respectivamente nessas retas. Com tal figura, será determinada a bissetriz do triângulo 𝐴𝐴Ô𝐵𝐵, daí, faz-se uma dobradura sobre a reta 𝑟𝑟 e em seguida é realizada uma nova dobra com o intuito de sobrepor os segmentos 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝑂𝑂𝑂𝑂. Devese desdobrar o papel e dado um ponto 𝑄𝑄 marcado sobre a última dobradura realizada o que resulta os ângulos 𝐴𝐴Ô𝑄𝑄 e 𝐵𝐵Ô𝑄𝑄 serem congruentes, pois no segundo passo realizado, esses dois ângulos ficaram sobrepostos, logo a semirreta 𝑂𝑂𝑂𝑂 divide o ângulo 𝐴𝐴Ô𝐵𝐵 em dois ângulos congruentes e, portanto, é a bissetriz.

As três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto que está a igual distância dos lados do triângulo e este ponto é dito incentro. São realizadas as dobras necessárias para ser encontrada a bissetriz do ângulo 𝐴𝐴 e sucessivamente as bissetrizes dos ângulos 𝐵𝐵 e 𝐶𝐶. As três bissetrizes encontrar-se-ão em um mesmo ponto 𝑆𝑆 denominado incentro.

Construção 3.2.2.2: Circuncentro

O ponto de interseção das mediatrizes dos lados de um triângulo é denominado Circuncentro. O ponto 𝑃𝑃 que representa o circuncentro do triângulo pode ser interno ou externo à figura. Deve-se construir um triângulo qualquer 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 e logo após traçam-se as retas mediatrizes dos lados 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝐵𝐵𝐵𝐵. Ao desdobrar o papel, as respectivas dobras que representam as mediatrizes interceptam-se em um único ponto 𝑃𝑃 que será marcado e denominado circuncentro.

Figura 8: Construção da reta bissetriz interna.

Construção 3.2.1.4: Mediatriz Uma reta é dita mediatriz quando passa perpendicularmente pelo ponto médio de um segmento dado. Além disso, sejam os pontos 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵 pertencentes ao segmento, então qualquer ponto pertencente à reta mediatriz que passa pelo ponto médio de 𝐴𝐴𝐴𝐴 será equidistante de 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵. Tome a reta 𝑟𝑟 com os pontos 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵 e seja 𝑀𝑀 o ponto médio de 𝐴𝐴𝐴𝐴. Ao realizar uma dobradura de tal maneira que 𝐴𝐴 intercepte 𝐵𝐵, houve a formação da reta 𝑠𝑠. Por fim, é feita uma dobradura passando por 𝐴𝐴𝐴𝐴 e outra por 𝐵𝐵𝐵𝐵 tal que os triângulos 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 são congruentes pelo critério 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 (lado – lado – lado), logo a reta

Figura 9: Construção do Circuncentro

Construção 3.2.2.3: Ortocentro Em um triângulo 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, as retas suporte das alturas se intersectam em um único ponto denominado Ortocentro do triângulo. Inicialmente, com as definições dadas anteriormente, é construído um triângulo 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 e, em seguida, traçadas suas respectivas alturas referentes aos vértices 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 e 𝐶𝐶. O ponto 𝐻𝐻 de

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Menezes e Silva : O uso de Dobraduras como recurso para o ensino da geometria plana: história, teoremas e problemas encontro das três alturas é o ortocentro do triângulo.

Figura 10: Construção do Ortocentro.

3.2.3 Quadrado

mesmo processo será repetido agora fazendo coincidir os segmentos 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝑀𝑀𝑀𝑀 de tal maneira a obter o segmento 𝑃𝑃𝑃𝑃 dos novos pontos médios e analogamente o 𝐵𝐵𝐵𝐵 sobre 𝑀𝑀𝑀𝑀. A partir de então é possível dividir cada parte dos segmentos 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝐶𝐶𝐶𝐶 ao meio obtendo 8 partes iguais; ou seja, para 1 dobra realizada obtemos 𝐾𝐾 = 1 e o segmento dividido em duas partes; para mais duas dobras realizadas, 𝐾𝐾 = 3 e obtemos 8 partes iguais e assim por diante, verificando todas as potências de 2 até 2𝑘𝑘 .

Construção 3.2.3.1: Quadrado Inscrito em outro Quadrado Seja 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 um quadrado. É realizada uma dobra na mediatriz dos lados 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝐶𝐶𝐶𝐶, formando o segmento 𝐸𝐸𝐸𝐸 e de maneira análoga forma-se o segmento na horizontal 𝐺𝐺𝐺𝐺. Ao unirmos os pontos 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 obtemos um quadrado inscrito em outro quadrado.

Figura 11: Quadrado inscrito no quadrado. A figura formada com as dobraduras é um quadrado, pois os triângulos 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵, 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 e 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 são congruentes pelo critério 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 (lado ângulo - lado), visto que os pontos 𝐸𝐸, 𝐹𝐹, 𝐺𝐺 e 𝐻𝐻 são pontos médios e dividem seus respectivos lados ao meio. O novo quadrado formado possuirá metade da área da figura inicial. Então: 𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 𝐹𝐹𝐹𝐹.

Construção 3.2.3.2: Divisão Segmento em 𝟐𝟐𝒌𝒌 Partes Iguais

de

Figura 12: Divisão de um segmento em 2𝑘𝑘 partes iguais.

3.2.4 Pentágono Regular Muitas são as maneiras de construir um pentágono regular por meio de dobras. Neste trabalho serão citados os passos seguidos por Lucas (2013, p. 27) para a realização de tal construção a partir de um retângulo 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. Com o retângulo 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, a diagonal 𝐴𝐴𝐴𝐴 deve ser dobrada. Marca-se um ponto 𝐸𝐸 de interseção entre os segmentos 𝐴𝐴𝐴𝐴 com 𝐷𝐷𝐷𝐷 e o segmento 𝐵𝐵𝐵𝐵 é dobrado para dentro da figura. O lado 𝐴𝐴𝐴𝐴 também é dobrado por dentro de 𝐴𝐴𝐴𝐴 encaixando as abas internamente. O triângulo 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 é isósceles, pois os triângulos 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 e 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 são congruentes segundo o critério 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝑂𝑂 (lado – ângulo - ângulo oposto ao lado), então 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐸𝐸𝐸𝐸.

um

Dividir um segmento em 2𝑘𝑘 partes iguais significa encontrar o ponto médio dele para cada valor de 𝐾𝐾 natural. A construção começará a partir de um quadrado de papel 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, e a primeira dobra será o segmento 𝐵𝐵𝐵𝐵 que irá ao encontro de 𝐴𝐴𝐴𝐴 obtendo o segmento 𝑀𝑀𝑀𝑀, formado pelos pontos médios dos lados 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝐶𝐶𝐶𝐶, respectivamente. O

Figura 13: Construção inicial do pentágono regular. O próximo passo é criar uma dobra que passe pela bissetriz do ângulo 𝐸𝐸Â𝐶𝐶, obtendo o segmento 𝐴𝐴𝐴𝐴, e ao ser desdobrado, deve-se realizar uma nova dobra, 𝐺𝐺𝐺𝐺, levando o vértice 𝐴𝐴 em direção ao ponto 𝐹𝐹.

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Figura 14: Dobras finais da construção do pentágono regular. Por fim, deve ser feita a mesma dobra com o vértice 𝐶𝐶 indo ao encontro do ponto 𝐺𝐺. Concluindo a construção de um pentágono regular.

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triângulo 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. Ao realizarmos uma dobra levando o vértice 𝐵𝐵 ao encontro do ponto 𝐺𝐺, o vértice 𝐴𝐴 ao ponto 𝐺𝐺 e também o 𝐶𝐶 ao 𝐺𝐺, obtémse um hexágono regular. A justificativa é simples para a construção de um hexágono regular, pois os triângulos formados são equiláteros. Sabe-se que a dobra 𝐸𝐸𝐸𝐸 é paralela à base 𝐴𝐴𝐴𝐴 do triângulo, assim como as outras dobras também são paralelas às outras bases, os triângulos 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 e 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 são congruentes pelo caso ALA (ângulo – lado – ângulo), e, portanto, o ângulo 𝐺𝐺 é 60°, concluindo que os 6 triângulos construídos são equiláteros e portanto forma um hexágono regular.

Figura 15: Construção final do pentágono regular. O resultado é visto quando a figura é reaberta e é observado o vértice 𝐴𝐴 do retângulo inicial. De acordo com a figura de Lucas (2013, p. 30), o ângulo  ficou dividido em 5 partes iguais, ou seja, cada ângulo medindo 18°. O triângulo 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 é isósceles, pois os triângulos 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 e 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 são congruentes pelo critério 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 (lado – ângulo – lado), já que 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝐺𝐺𝐺𝐺 são perpendiculares visto que 𝐺𝐺𝐺𝐺 é mediatriz de 𝐴𝐴𝐴𝐴 . Por ser isósceles, conclui-se que ângulos 𝐸𝐸𝐺𝐺𝐻𝐻 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = 108°.

Figura 16: Pentágono regular construído com dobras.

3.2.5 Hexágono Regular O hexágono regular será construído a partir do triângulo equilátero 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 já construído nas seções anteriores. O segmento 𝐶𝐶𝐶𝐶 é a altura, bissetriz e mediana, em relação ao lado 𝐴𝐴𝐴𝐴, se o ponto 𝐷𝐷 for ponto médio. Da mesma maneira ocorre com os segmentos que passam por 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝐵𝐵𝐵𝐵, daí resulta um ponto 𝐺𝐺 que é definido como ortocentro, baricentro, incentro e circuncentro do

Figura 17: Construção do Hexágono regular.

4 O Uso de Dobraduras para Resolução de Teoremas e Problemas

a

4.1 Teorema de Pitágoras No triângulo retângulo o Teorema de Pitágoras fica definido como o quadrado da hipotenusa é a soma do quadrado dos catetos e para mais uma demonstração de tal teorema, agora através de dobraduras, iniciaremos com um quadrado de papel 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. A ideia para a demonstração é inicialmente formar através de dobras um quadrado com 9 quadrados menores, como se fosse 9 por 9 (nove linhas e nove colunas de mesmo tamanho). Para isso, deve-se começar dividindo o quadrado em três partes verticais iguais. Dobra-se o quadrado por uma diagonal, depois ao meio verticalmente e, por fim, o ponto médio superior deve ser levado ao encontro do vértice inferior direito. Ao desdobrarmos o papel é fixado um ponto 𝑃𝑃 de interseção, no qual forma uma dobra perpendicular à base cujo comprimento ao lado

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Menezes e Silva : O uso de Dobraduras como recurso para o ensino da geometria plana: história, teoremas e problemas direito é igual a um terço do comprimento total do lado do quadrado.

Figura 20: Demonstração do Teorema de Haga.

Figura 18: Demonstração do Pitágoras por meio de dobras.

Teorema

de

Em seguida, após essas etapas serem feitas, de tal modo a ser construído o quadrado com tal característica 9 x 9, serão realizadas mais quatro dobras nos segmentos 𝐺𝐺𝐺𝐺, 𝐽𝐽𝐽𝐽 , 𝐹𝐹𝐹𝐹 e 𝐾𝐾𝐾𝐾, daí formou-se um novo quadrado 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 inscrito sob o inicial. Analisando o triângulo 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷, sem perda de generalidade, temos: A área do quadrado 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 é (𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐷𝐷𝐷𝐷)2 . A área de cada um dos triângulos 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷, 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺, 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽 ou 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 é igual a e a área do quadrado 2

𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 é 𝐾𝐾𝐾𝐾². Em suma, temos que a área do quadrado 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 + 4(á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡â𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷). 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 (𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐷𝐷𝐷𝐷)²= 𝐾𝐾𝐾𝐾²+ 4( )² 𝐷𝐷𝐷𝐷² + 𝐷𝐷𝐷𝐷² = 𝐾𝐾𝐾𝐾².

2

Vejamos uma forte aplicação nos exercícios em sala quando o ponto 𝑃𝑃 é o ponto médio de um dos lados de um quadrado de lado a unidade. O objetivo será calcular “𝑥𝑥" e “𝑦𝑦". Ora, 1 por Pitágoras o “𝑥𝑥" é calculado com 𝑥𝑥² + ( )² = 2

(1 − 𝑥𝑥)² e o “𝑦𝑦 " basta usar o Teorema de Haga e a semelhança de triângulos. Caso o ponto 𝑃𝑃 seja arbitrário o processo é idêntico ao mostrado anteriormente. 4.3 Trissecção do Lado de um Quadrado

Seja um quadrado 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 de lado medindo a unidade, sem perda de generalidade. Inicialmente, devem-se encontrar os pontos médios de 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝐵𝐵𝐵𝐵, denominados 𝐸𝐸 e 𝐹𝐹, respectivamente, e então se deve levar o vértice 𝐶𝐶 ao encontro do ponto 𝐹𝐹. Teremos o ponto 𝑃𝑃 e 𝐺𝐺 em consequência da dobra e ao desdobrar observamos as seguintes conclusões: os triângulos 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 e 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 são semelhantes pelo Teorema de Haga, então: 𝐵𝐵𝐵𝐵

𝐺𝐺𝐺𝐺

=

𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶

. 1

1

Logo, como 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 = , obtemos 𝐺𝐺𝐺𝐺. 𝐶𝐶𝐶𝐶 = . 2

Figura 19: Teorema de Pitágoras. 4.2 Teorema de Haga Conforme Monteiro (2008, p. 48), o teorema de Haga se caracteriza quando ao ser fixado um ponto 𝑃𝑃 qualquer em um dos lados do quadrado, dobra-se o papel de forma que um dos vértices vá ao encontro desse ponto ficando sobreposto. Daí os triângulos formados por essa construção são semelhantes. A prova baseia-se nos ângulos obtidos em cada triângulo, que são 90°, 𝛼𝛼 e 𝛽𝛽, logo os triângulos são semelhantes pelo caso 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (ângulo – ângulo – ângulo).

4

Ao aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃, tem-se que 𝑃𝑃𝑃𝑃² = 𝐶𝐶𝐶𝐶² + 𝐹𝐹𝐹𝐹²e 𝑃𝑃𝑃𝑃 3 = 1 − 𝐶𝐶𝐶𝐶, resulta: 𝐶𝐶𝐶𝐶 = , e, por conseguinte, 𝐺𝐺𝐺𝐺 =

2 3

8

1

. Conclui-se, portanto, que, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = . 3

Figura 21: Dobras para a construção da trissecção do lado do quadrado.

Ciência e Natura, v. 37 Ed. Especial PROFMAT, 2015, p. 511–524

4.4 Problema de Duplicação do Cubo No 1º Colóquio de Matemática da Região Sul em 2010, um dos temas trabalhados foi o problema da duplicação do cubo, também conhecido por Problema Deliano de acordo com os estudos realizados por Monteiro (2008, p. 32), ou seja, construir um cubo cujo volume seja o dobro do volume de um cubo dado. Antes de ser iniciada tal construção, amparada pelos estudos dos anais do Colóquio e as observações realizadas por Peter Messer para a resolução deste problema clássico, as entrelinhas do problema devem ser analisadas, pois suponhamos sem perda de generalidade que o cubo inicial tenha aresta 𝑎𝑎, então seu volume seria 𝑎𝑎³, daí o cubo que deverá ser construído possuirá o dobro do volume que quer dizer 2𝑎𝑎³. Conclui-se que o novo cubo apresentará aresta 3 igual a 𝑎𝑎 √2. Como 𝑎𝑎 é dado, resta-nos apenas 3 construir um segmento cuja medida seja 𝑎𝑎 √2. A partir do quadrado, com os lados já trissecionados, uniremos o vértice 𝐶𝐶 ao lado 𝐵𝐵𝐵𝐵 de modo que o ponto 𝐹𝐹 faça interseção com o 3 segmento 𝐻𝐻𝐻𝐻. Disso resulta, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐽𝐽𝐽𝐽 √2. A prova dessa afirmação começa com a utilização do Teorema de Pitágoras no triângulo 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶, ou seja, 𝐶𝐶𝐶𝐶² = 𝐶𝐶𝐶𝐶² + 𝐷𝐷𝐷𝐷² ⟹ 𝑃𝑃𝑃𝑃² = 𝐶𝐶𝐶𝐶² + 𝐷𝐷𝐷𝐷². Temos a semelhança entre os triângulos 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑒𝑒 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(ângulo – 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑃𝑃 ângulo – ângulo), portanto, = . 𝐷𝐷𝐷𝐷

ângulo agudo a partir de uma folha quadrada de papel. Seja 𝛼𝛼 o ângulo formado pelo lado 𝐴𝐴𝐴𝐴 e uma reta arbitrária (existem outras demonstrações utilizando semelhança de triângulos). Será realizada uma dobra nos pontos médios 𝐸𝐸 e 𝐹𝐹 dos lados 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝐶𝐶𝐶𝐶, respectivamente, e logo após uma nova dobra passando pelos pontos médios 𝐺𝐺 e 𝐻𝐻 de 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑒𝑒 𝐵𝐵𝐵𝐵, respectivamente. Uma dobra propiciada pelo axioma 6 será construída de tal maneira que o vértice 𝐴𝐴 vá ao encontro do segmento 𝐺𝐺𝐺𝐺 e o ponto 𝐸𝐸 intercepte o 𝐴𝐴𝐴𝐴. O ponto 𝐿𝐿 formado pelo término do segmento 𝐺𝐺𝐺𝐺 será prolongado até atingir o lado superior do quadrado. Ao ser desfeita a última dobra, o prolongamento realizado forma um ângulo de 2 𝛼𝛼 com o lado inferior do quadrado de papel. 3

Daí, para haver a trissecção do ângulo 𝛼𝛼, basta fazer incidir essa dobra com o lado inferior do quadrado para haver a divisão em três partes iguais.

𝐹𝐹𝐹𝐹

Conclui-se das duas igualdades, após serem colocados os termos em função de 𝐽𝐽𝐽𝐽, que 3 (1 − 𝐽𝐽𝐽𝐽)³= 2𝐽𝐽𝐽𝐽³, ou seja, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐽𝐽𝐽𝐽 √2.

Figura 22: Construção da duplicação do cubo por meio de dobras. 4.5 Trissecção do Ângulo O método que será apresentado foi uma citação feita por Monteiro (2008, p. 29) a Hisashi Abe que, em 1980, realiza a trissecção de um

Figura 23: Dobras iniciais para a trissecção do ângulo.

Deve-se observar que os segmentos 𝐼𝐼𝐼𝐼 e 𝐼𝐼𝐼𝐼 são os mesmos, logo o ângulo formado em 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 possui mesma amplitude em 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺, portanto o prolongamento realizado anteriormente possui seu início exatamente no vértice 𝐴𝐴. O próximo passo será levar o prolongamento construído ao encontro do lado 𝐴𝐴𝐴𝐴. Pode-se extrair após a dobra algumas conclusões, tais como: 1. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴, pois são hipotenusas de dois triângulos congruentes; 2. 𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝐽𝐽𝐽𝐽, pela reflexão do vértice 𝐴𝐴 sob o segmento 𝐼𝐼𝐼𝐼 após a última dobra. Por (1) 𝑒𝑒 (2) conclui-se que o ponto 𝐽𝐽 está na bissetriz do ângulo 𝐼𝐼Â𝑂𝑂, logo 𝐼𝐼Â𝐽𝐽 = 𝐽𝐽Â𝑂𝑂,

520

521

Menezes e Silva : O uso de Dobraduras como recurso para o ensino da geometria plana: história, teoremas e problemas então o ponto 𝐽𝐽 pertence à última dobra realizada, daí 𝐽𝐽 = 𝑀𝑀. Os triângulos 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃′ e 𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽′ são congruentes pelo caso 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 (lado – ângulo – lado) e, portanto, os ângulos 𝑃𝑃Â𝑂𝑂′ = 𝐽𝐽Â𝑂𝑂′ e por transitividade: 𝑃𝑃Â𝑂𝑂′ = 𝐽𝐽Â𝑂𝑂′ = 𝐽𝐽Â𝑂𝑂 = 𝛼𝛼.

Figura 24: Trissecção do ângulo. 4.6 Retângulo com a Diagonal Dividindo o Ângulo Reto em Ângulos de 54° e 36°.

A construção da figura com tais propriedades se dará com a utilização de um retângulo com dimensões da razão de 3 para 2, o qual será obtido a partir de um retângulo com dimensões 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏 e sem perda de generalidade façamos 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏, tal que o lado menor será divido pela metade e levado para o lado de maior medida fixando um dos vértices. Com tal medida, será possível realizar a trissecção do lado maior. Porém três situações podem ocorrer: 3𝑎𝑎 1. > 𝑏𝑏, e então se deve reduzir a 2

dimensão de 𝑎𝑎 da figura e repetir o procedimento. 3𝑎𝑎 2. = 𝑏𝑏, será obtido a figura desejada

Deverão ser realizadas duas dobras tais que os segmentos 𝐵𝐵𝐵𝐵 e 𝐴𝐴𝐴𝐴 coincidam com 𝐸𝐸𝐸𝐸, formando após desdobrar o papel 12 retângulos congruentes com uma dimensão duas vezes maior do que a outra. Os retângulos formados devem ser dobrados em suas diagonais de forma contínua formando 24 triângulos retângulos congruentes com as medidas dos catetos iguais a 2 e 1. Utilizando o Δ𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽 e aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos: 𝐼𝐼𝐼𝐼² = 𝐽𝐽𝐽𝐽² + 𝐽𝐽𝐽𝐽² 𝑥𝑥² = 1² + 2² 𝑥𝑥 = √5. O próximo passo será dobrar a diagonal 𝐼𝐼𝐼𝐼 sob o lado 𝐴𝐴𝐴𝐴 do retângulo inicial, encontrando como interseção do ponto 𝑇𝑇 sobre o lado inferior do ponto 𝑈𝑈. Observa-se que 𝐷𝐷𝐷𝐷 = 2 + √5. Em seguida deve ser feita uma dobra levando o ponto 𝑃𝑃 ao encontro do lado 𝐴𝐴𝐴𝐴 fixando o vértice 𝐷𝐷 e formando um ponto 𝑋𝑋. E, logo depois, dobra-se o lado 𝐴𝐴𝐴𝐴 sobre ele mesmo sobrepondo o ponto 𝑋𝑋 sobre o 𝑈𝑈, desta maneira a projeção do vértice 𝐷𝐷 formará um novo ponto denominado 𝑉𝑉. Concluímos que 𝐷𝐷𝐷𝐷 = 3 + √5, pois 𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑈𝑈𝑈𝑈 = 1. Deve ser traçada uma perpendicular aos lados superior e inferior interceptando o ponto 𝑈𝑈 e determinado um ponto 𝑊𝑊 equidistante 3 + √5 unidades de comprimento do vértice 𝐷𝐷.

2

dividida em seis quadrados congruentes. 3𝑎𝑎 3. < 𝑏𝑏, bastará recortar o excesso de 𝑏𝑏. 2

Figura 26: Construção do ângulo trisseccionado.

Figura 25: Retângulo com a diagonal dividindo o ângulo reto em ângulos de 54° e 36°.

O segmento 𝑈𝑈𝑈𝑈 deve ser levado ao encontro do lado 𝐶𝐶𝐶𝐶, sendo o ponto 𝑌𝑌 a transposição de 𝑊𝑊 sobre o lado 𝐶𝐶𝐶𝐶, resultando com o isso o retângulo 𝑌𝑌𝑌𝑌𝑌𝑌𝑌𝑌, que divide o ângulo reto em 54° e 36°, pois: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐36° =

𝐷𝐷𝐷𝐷

𝐷𝐷𝐷𝐷

=

2+ √5 3+√5

.

zão

lados 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝐶𝐶𝐶𝐶, respectivamente. Em seguida, o vértice 𝐶𝐶 deve ser levado ao encontro do segmento 𝐸𝐸𝐸𝐸 fazendo intersectá-lo no ponto 𝐽𝐽. ponto 𝐽𝐽,v.existirá uma dobra perpendicular ao511–524 CiênciaNo e Natura, 37 Ed. Especial PROFMAT, 2015, p. Figura 28: Dobras iniciais para a construção do lado 𝐴𝐴𝐴𝐴, formando dois pontos 𝐻𝐻 e 𝐼𝐼, retângulo áureo. pertencentes, respectivamente, aos lados 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝐶𝐶𝐶𝐶. Logo o retângulo 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 possui dimensões na √3

4.7 Retângulos com Dimensões na Razão razão . 3

√𝟑𝟑 𝟑𝟑

Continuemos trabalhando com um quadrado e sem perda de generalidade um que tenha lado medindo uma unidade. A primeira dobra a ser feita é para encontrar os pontos médios 𝐸𝐸 e 𝐹𝐹 dos lados 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 𝐶𝐶𝐶𝐶, respectivamente. Em seguida, o vértice 𝐶𝐶 deve ser levado ao encontro do segmento 𝐸𝐸𝐸𝐸 fazendo intersectá-lo no ponto 𝐽𝐽. √3 No ponto existirá uma perpendicular Figura 27:𝐽𝐽,Retângulo comdobra Dimensões na razãoao lado 𝐴𝐴𝐴𝐴, formando dois pontos 𝐻𝐻 e 𝐼𝐼,3 pertencentes, respectivamente, aos lados 𝐴𝐴𝐴𝐴 e 4.8 Retângulo Áureo 𝐶𝐶𝐶𝐶. Logo o retângulo 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 possui dimensões na √3

razão . seção, é construído um retângulo com Nesta 3 as proporções áureas a partir de um quadrado de papel. A primeira dobra é a vertical que divide o quadrado ao meio seguida de outra na diagonal do retângulo formado. Após desdobrar a folha, deve-se levar o vértice inferior esquerdo ao encontro da última dobra realizada. Ao virarmos a folha dobrada ainda, devemos realizar uma dobradura na parte frontal de forma que o início √3 do vinco à direita seja interseção entre o lado Figura 27: Retângulo coma Dimensões na razão 3 direito do quadrado a última dobra realizada.

4.8 Retângulo Áureo

Nesta seção, é construído um retângulo com as proporções áureas a partir de um quadrado de papel. A primeira dobra é a vertical que divide o quadrado ao meio seguida de outra na diagonal do retângulo formado. Após desdobrar a folha, deve-se levar o vértice inferior esquerdo ao encontro da última dobra realizada. Ao virarmos a folha dobrada ainda, devemos realizar uma dobradura na parte frontal de forma que o início do vinco à direita seja a interseção entre o lado direito do quadrado a última dobra realizada. √𝟑𝟑 𝟑𝟑

quadrado tenha lado obra a ser s 𝐸𝐸 e 𝐹𝐹 dos seguida, o contro do o ponto 𝐽𝐽. ndicular ao 𝐻𝐻 e 𝐼𝐼, ados 𝐴𝐴𝐴𝐴 e mensões na

Figura 28: Dobras iniciais para a construção do retângulo áureo. A afirmação é que após desdobrarmos a folha o retângulo formado tem as dimensões de um retângulo áureo. O objetivo da prova será encontrar o quociente entre os lados do

522

A afirmação é que após desdobrarmos a folha o retângulo formado tem as dimensões de um retângulo áureo. O objetivo da prova será encontrar o quociente entre os lados do retângulo resultante construído. Os triângulos 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑒𝑒 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 são semelhantes pelo critério 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(ângulo – ângulo – ângulo) o que fornece a 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝐹𝐹𝐹𝐹 = = e, além disso, pelas razão: 𝐷𝐷𝐷𝐷

𝐺𝐺𝐺𝐺

𝐺𝐺𝐺𝐺

propriedades de proporcionalidade:

𝐸𝐸𝐸𝐸

𝐷𝐷𝐷𝐷

=

𝐹𝐹𝐹𝐹+𝐹𝐹𝐹𝐹

𝐺𝐺𝐺𝐺+𝐺𝐺𝐺𝐺

.

Suponhamos, portanto, que o lado do Figura 28: Dobras iniciais para a construção do= quadrado inicial tenha lado 𝑙𝑙, então 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑙𝑙 retângulo áureo. 1 e 𝐹𝐹𝐹𝐹 = , aplica-se o Teorema de Pitágoras no 2

𝑙𝑙√5

triângulo 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹: é𝐹𝐹𝐹𝐹 = após + 𝐸𝐸𝐸𝐸² = . a folha √𝐹𝐹𝐹𝐹²desdobrarmos A afirmação que 2 Verificamos que ostem ângulos 𝛼𝛼 e 𝛽𝛽 sãodeiguais o retângulo formado as dimensões um pela construção 𝐴𝐴𝐴𝐴 e da os ângulos 𝛽𝛽 e 𝛾𝛾 retângulo áureo.daOdobra objetivo prova será também são pois possuem a propriedades encontrar o iguais, quociente entre os lados do de serem alternos internos e por transitividade retângulo resultante construído. Os triângulos𝛼𝛼 = 𝛾𝛾.𝑒𝑒 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 Logo, osãotriângulo 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 é isósceles, então 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 semelhantes pelo critério 𝐺𝐺𝐺𝐺 + 𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝐺𝐺𝐺𝐺 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 =– 1. Ao ocalcularmos 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(ângulo – ângulo ângulo) que fornece ao 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝐹𝐹𝐹𝐹 quociente entre retângulo obtemos: razão: = os = lados e, doalém disso, pelas 𝐷𝐷𝐷𝐷

𝐺𝐺𝐺𝐺

𝐺𝐺𝐺𝐺

propriedades de proporcionalidade: 𝑙𝑙 𝑙𝑙√5 𝐸𝐸𝐸𝐸

𝐹𝐹𝐹𝐹

𝐹𝐹𝐹𝐹

𝐹𝐹𝐹𝐹+𝐹𝐹𝐹𝐹

𝐸𝐸𝐸𝐸

=

𝐹𝐹𝐹𝐹+𝐹𝐹𝐹𝐹

.

𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐺𝐺𝐺𝐺+𝐺𝐺𝐺𝐺 + 2 1+ √5 2 = o .lado do que 𝑙𝑙 2

𝑥𝑥 Suponhamos, = = = portanto, = = 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐺𝐺𝐺𝐺+𝐺𝐺𝐺𝐺 quadrado inicial tenha lado 𝑙𝑙, então 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝑙𝑙 1 5e Conclusões 𝐹𝐹𝐹𝐹 = , aplica-se o Teorema de Pitágoras no 2

𝑙𝑙√5

triângulo 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹: 𝐹𝐹𝐹𝐹 = √𝐹𝐹𝐹𝐹² + 𝐸𝐸𝐸𝐸² = . Uma constante dificuldade em2 aplicar algo Verificamos que os ângulos 𝛼𝛼 e 𝛽𝛽 são iguais novo na sala de aula encontra-se na rejeição de pela construção da dobra 𝐴𝐴𝐴𝐴 e os ângulos 𝛽𝛽 e 𝛾𝛾 alguns professores em saírem de uma zona de também são iguais, pois possuem a propriedades conforto na qual já estão acostumados a de serem alternos internos e por transitividade 𝛼𝛼 vivenciar e partirem para novos rumos e formas = 𝛾𝛾. Logo, o triângulo 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 é isósceles, então de ensino. O ensino tradicional pautado em 𝐺𝐺𝐺𝐺 + 𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝐺𝐺𝐺𝐺 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1. Ao calcularmos o aulas expositivas em que somente o professor é o quociente entre os lados do retângulo obtemos: “detentor do saber” faz com que o discente seja o polo passivo do conhecimento, em que somente 𝑙𝑙 𝑙𝑙√5 + 2 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝐹𝐹𝐹𝐹 𝐹𝐹𝐹𝐹+𝐹𝐹𝐹𝐹 1+ √5 2 e =em nenhum 𝑥𝑥 recebe = = o conteúdo = = = . momento 𝑙𝑙 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐺𝐺𝐺𝐺+𝐺𝐺𝐺𝐺 2 participa de sua construção, ou seja, procurar um meio (lúdico e inovador) de reduzir a resistência de determinadas matérias que muitos alunos apresentam, em especial, em determinados conteúdos matemático é, de longe, uma máxima seguida por parte de uma parcela de professores. Este trabalho foi desenvolvido com o intuito de contribuir para a formação do professor de matemática na apropriação e transmissão do conteúdo de Geometria Euclidiana Plana no ensino básico para seus alunos. Para que esse objetivo fosse alcançado, o meio encontrado foi a utilização de material concreto, uma vez que trabalhar com ferramentas táteis torna o aprendizado lúdico e mais eficaz. Desta forma, foi elaborada uma proposta de ensino com instruções de fácil acesso ao docente e que possibilitasse sua prática, já que a matéria prima

Esse art aborda hi Geometria básico poss finalidade d transmitind abordados possa comp trabalhos, área de Ed provar a re manipuláv de aulas e agora vol linguagem que possa h e em casa. Este tra uso de te utilização gravações d manipulaçõ enriqueça o podem ser dos alunos Em sum elementos aprimoram na aprendi que deve como um i futuros. É

conteúdos matemático é, de longe, uma máxima gravações de vídeo dosmais passosavançadas realizados como com asa de contribuir para de a uma formação dode professor de uso de tecnologias seguida por parte parcela professores. manipulações dobras,Geogebra fazendo ecom que matemática na apropriação e transmissão do utilização do das software também Este trabalho foi desenvolvido com o intuito enriqueça o número e qualidade de recursos queas conteúdo de Geometria Euclidiana Plana no gravações de vídeo dos passos realizados com de contribuir para a formação do professor de podem ser disponibilizados para o aprendizado básico na para seus alunos. Para que esse manipulações das dobras, fazendo com que matemática apropriação transmissão 523 ensino Menezes ee Silva : O uso dedo Dobraduras como recurso para o ensino da geometria plana: dos alunos. objetivo fosse o meio encontrado foi no a enriqueça o número e qualidade de recursos que conteúdo dealcançado, Geometria Euclidiana Plana teoremaspossui e problemas Em suma, o trabalhohistória, desenvolvido utilização de material concreto, uma vez que podem ser disponibilizados para o aprendizado ensino básico para seus alunos. Para que esse que podem contribuir para um real trabalhar comalcançado, ferramentas torna foioa elementos dos alunos. objetivo fosse o meiotáteis encontrado aprimoramento professordesenvolvido em sala e contribuir aprendizado e mais eficaz. uma Destavez forma, Em suma, do o trabalho possui utilização delúdico material concreto, que na aprendizagem da geometria plana uma vez foi elaborada uma proposta de ensino com elementos que podem contribuir para um real trabalhar com ferramentas táteis torna o que deve ser bem aceito pela classe docente instruções de fácil acesso ao docente e que aprimoramento do professor em sala e contribuir aprendizado lúdico e mais eficaz. Desta forma, como um instrumento de pesquisas e trabalhos possibilitasse sua prática, já que a matéria prima na aprendizagem da geometria plana uma vez foi elaborada uma proposta de ensino com futuros. É deixado bem claro, que as dobras por éinstruções comum no de meio estudantil: folha de papel. Isto que deve ser bem aceito pela classe docente fácil acesso ao docente e que sicomo nadaum representariam não houvesse um foi motivado sua peloprática, fato já deque acreditar-se que instrumento desepesquisas e trabalhos possibilitasse a matéria prima arcabouço teórico que complementasse toda a realizando em sala dedeaula futuros. É deixado bem claro, que as dobras por é comum notrabalhos meio estudantil: folha papel.com Isto metodologia a ser implantada: prática e teoria. materiais didáticos de papel, si nada representariam se não houvesse um foi motivado pelo usando fato dedobras acreditar-se que levando o trabalhos aluno a em realizar somente arcabouço teórico que complementasse toda a realizando sala não de aula com descobertas como também criar um metodologia a ser implantada: prática e teoria. materiais didáticos usando dobras de papel, Referências embasamento teórico para os futuros temas levando o aluno a realizar não somente sobre geometria. como descobertas também criar um Referências Os aprendizados obtidos o ensinotemas da BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. embasamento teórico para com os futuros geometria por meio de dobras vão além dos Parâmetros Curriculares Nacionais: sobre geometria. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. resultados visíveis na escola, como também, o matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. 146 p. Os aprendizados obtidos com o ensino da BRASIL. Secretaria de Educação Parâmetros Curriculares Nacionais:Fundamental. matemática. desenvolvimento de habilidades como memória, geometria por meio de dobras vão além dos Parâmetros Curriculares Nacionais: Brasília: MEC/SEF, 1998. 146 p. concentração, criatividade e, principalmente, BRITTO, Neyde Carneiro de Didática resultados visíveis na escola, como também, o matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.especial. 146 p. interação com outras realidades dentro de sua São Paulo: Editora do Brasil, 1984. desenvolvimento de habilidades como memória, BRITTO, Neyde Carneiro de Didática especial. própria sala. Tudo isso pode e,acontecer através concentração, criatividade principalmente, BRITTO, Didática especial. São Paulo:Neyde EditoraCarneiro do Brasil,de 1984. CARVALHO, Lilian Milena Ramos. do empenho do professor e de suas interação com outras realidades dentro de sua São Paulo: Editora do Brasil, 1984. ROCHA, Jackeline Aparecida Aguiar Da. O Origami na peculiaridades como educador, uma vez que própria sala. Tudo isso pode acontecer através CARVALHO, Lilian Milena Ramos. ROCHA, Disciplina de Matemática como Recurso somente ele pode determinar o momento e do empenho do professor e decerto suas CARVALHO, Lilian MilenaDa. Ramos. ROCHA, Jackeline Aparecida Aguiar O Origami na Didático para o Ensino de Geometria Plana na e opeculiaridades como trabalhar como com tais experimentos práticos, educador, uma vez que Jackeline Aguiar O Origami Disciplina deAparecida Matemática como Da. Recurso Didático Espacial. Bahia. Anais do XIV Encontro jásomente que conhece o nível e grau de interesse da ele pode determinar o momento certo e MatemáticaPlana como Recurso paraDisciplina o Ensino de de Geometria e Espacial. Baiano de Educação Matemática. 2011 turma. o como trabalhar com tais experimentos práticos, Didático para de Geometria Planadee Bahia. Anais doo Ensino XIV Encontro Baiano Esse artigo é uma contribuição literária que já que conhece o nível e grau de interesse da Espacial. Bahia. Anais Educação Matemática. 2011 do XIV Encontro aborda história, problemas e Teoremas da turma. Baiano de Educação Matemática. 2011 Geometria para que os professores do ensino D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação matemática: básico possam utilizar como apoio teórico com a plicar algo da teoria à prática. Campinas: Papirus, 1996. finalidade de repassarem o conteúdo geométrico, rejeição de transmitindo os problemas e Teoremas aqui ma zona de DENECA, Maria de Lourdes, PIRES, Magna abordados de uma forma lúdica que o aluno umados a Natalia. O ensino de matemática com auxilio possa compreender. Como sugestão para futuros os e formas de materiais manipuláveis. Apucarana – PR, trabalhos, artigos ou projetos de doutorado na autado em 2008. CEEBJA. Disponível em: área de Educação Matemática, faz-se necessário rofessor é o . Acesso em 10 jun. 13. manipuláveis com um adequado planejamento ue somente de aulas e a estruturação de um livro-texto, momento LUCAS, E.S.C. Uma abordagem didática para a agora voltado para o discente, com uma rocurar um construção dos poliedros regulares e prismas linguagem bem simples e menos técnica para a resistência utilizando origamis. 2013. 81 f. Dissertação (Pósque possa haver o seu acompanhamento em sala itos alunos graduação Profissional em Matemática) - Centro e em casa. terminados de Tecnologia, Universidade Federal de Lavras, Este trabalho também revela caminhos para o ma máxima Minas Gerais, 2013. uso de tecnologias mais avançadas como a professores. utilização do software Geogebra e também m o intuito MONTEIRO, Liliana Cristina Nogueira Origami: gravações de vídeo dos passos realizados com as rofessor de História de uma Geometria Axiomática. 2008. manipulações das dobras, fazendo com que smissão do 111 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) enriqueça o número e qualidade de recursos que Plana no Universidade de Lisboa. Faculdade de Ciências. podem ser disponibilizados para o aprendizado a que esse 2008. dos alunos. ntrado foi a Em suma, o trabalho desenvolvido possui ma vez que RAMIREZ, Z.M.S.; LÓPEZ, C.M.J. Producción de elementos que podem contribuir para um real torna o conocimiento geométrico através de la aprimoramento do professor em sala e contribuir esta forma, visualización de construcciones con doblado de na aprendizagem da geometria plana uma vez nsino com papel.. In: I Congresso de Educación Matemática que deve ser bem aceito pela classe docente ente e que de América Central y El Caribe, 1, 2013, Santo

Minas Gerais, 2013. MONTEIRO, Liliana Cristina Nogueira Origami: História de uma Geometria Axiomática. 2008. 111e Natura, f. Dissertação em Matemática) Ciência v. 37 Ed.(Mestrado Especial PROFMAT, 2015, p. 511–524 Universidade de Lisboa. Faculdade de Ciências. 2008. RAMIREZ, Z.M.S.; LÓPEZ, C.M.J. Producción de conocimiento geométrico através de la visualización de construcciones con doblado de papel.. In: I Congresso de Educación Matemática de América Central y El Caribe, 1, 2013, Santo Domingo, Anais. Santo Domingo: 2013. Disponível em: http://www.centroedumatematica.com/memoria s-icemacyc/216-400-1-DR-C.pdf. Acesso em: 15 fev.2014.

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