u p +1 1) ∫ u du = + k , p ≠ −1 p +1 du 2) ∫ = ln u + k u
1)
p
3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
∫ e du = e + k ∫ sen (u ) du = −cos (u ) + k ∫ cos (u ) du = sen (u ) + k ∫ sec (u ) du = tg (u ) + k ∫ csc (u ) du = −cotg (u ) + k ∫ sec (u ) tg (u ) du = sec (u ) + k ∫ csc (u ) cotg (u ) du = −csc (u ) + k u
u
2) 3) 4) 5)
2
2
u 10) ∫ = arcsen + k 2 2 a a −u du 1 u 11) ∫ 2 = arctg + k 2 a a +u a
6) 7) 8)
du
12)
∫u
du u −a 2
2
=
9) 10)
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS TRIGONOM
d (k ) = 0 , ∀k ∈ IR dx d p u = p u p −1 u ' dx d u e = eu u ' dx ' d (ln(u )) = u dx u d (sen(u )) = cos(u ) u ' dx d (cos(u )) = −sen(u ) u ' dx d (tg(u )) = sec 2 (u ) u ' dx d (cotg(u )) = −csc 2 (u ) u ' dx d (sec(u )) = sec(u ) tg(u ) u ' dx d (csc(u )) = −csc(u ) cotg(u ) u ' dx
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO Teorema Fundamental do Cálculo:
(
)
Seja f contínua no intervalo [a, b] e F uma primitiva de f isto é : F (x ) = f (x ) . '
b
Então:
∫ f (x ) dx = [ F(x ) ] a
b a
= F(b ) − F(a )
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
∫ u dv = u v - ∫ v du
Integração por partes:
Integração por decomposição em frações parciais:
∫
p(x) q(x)
dx ● Fator linear de q(x):
A ax + b
● Fator quadrático de q(x):
Ax + B ax 2 + bx + c
Integração por substituição trigonométrica: Para integrais contendo um único radical no integrando da forma ( a > 0 constante): a 2 − x 2 ➪ x = a sen (t )
a2 + x2
x 2 − a 2 ➪ x = a sec(t )
➪ x = a tg (t )
EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR
y + p(x ) y = q(x ) '
Equação Diferencial Linear de 1ª ordem:
Fator Integrante:
I(x ) = e ∫ p ( x ) dx
Solução: y =
1 I(x ) q (x ) dx I (x ) ∫
SÉRIES ∞
Séries Geométricas:
∑ ar
● Converge para
n −1
n =1
Série p:
∞
∑
n=1
a se 1− r
r < 1;
● Convergente se p > 1 ;
1 com p > 0 é : np
● Divergente se
r ≥ 1.
● Divergente se 0 < p ≤ 1 .
Teste da Divergência (Critério do Termo Geral): Se lim a n ≠ 0 então a série n→∞
∞
∑a
n =1
n
é divergente.
Teste da Integral: Seja f uma função contínua, positiva e decrescente no intervalo [1 ; + ∞ ) e a n = f (n ) . ● Se
+∞
∫ f (x ) dx é convergente, então 1
∞
n =1
Teste da Série Alternada:
∑ (- 1) n =1
Teste da Razão: Seja
∞
∑a
n =1
n
n
an é
∑ an
é convergente.
n =1
∑an e
Teste da Comparação por Limites: Sejam ∞
∞
● Se
+∞
∫ f (x ) dx
é divergente, então
n =1
1
∞
∑b
n=1
n
séries de termos positivos. Se lim
Convergente se
n → +∞
∞
∑a
n
é divergente.
an = L > 0 , então ambas convergem ou ambas divergem. bn
lim a n = 0 e a n ≥ a n + 1 para todo n ≥ 1 .
n → +∞
uma série de termos não nulos e lim a n +1 = L ( ou + ∞ ). n →∞
an
● Se L > 1 (ou + ∞ ) então a série é divergente; ● Se L = 1 nada se conclui . (n ) Série de Taylor: f (x ) = f (c ) + f (c ) (x − c ) + f (c ) (x − c )2 + L + f (c ) (x − c )n + L Série de Maclaurin: Centro c = 0 . 1! 2! n! ● Se L < 1 então a série é convergente; '
