Ideias das quatro operações fundamentais Problemas que envolvem as experiências das crianças devem ser o caminho para iniciar o trabalho com as operações. Situações como contar pontos em um jogo, colecionar materiais, brincadeiras e outras atividades podem estar envolvidas no dia a dia das crianças em sala de aula ou em casa, sendo exemplos de contextos que venham a favorecer o envolvimento e a compreensão das crianças com as operações trabalhadas nos anos iniciais do Ensino Fundamental. O trabalho com as quatro operações fundamentais, nos anos iniciais, deve privilegiar os diferentes significados de cada uma delas e as relações entre as mesmas. Há, ainda, um importante ponto sobre o qual os professores hão de refletir: as várias ideias envolvidas nas quatro operações fundamentais. A relevância do conhecimento dessas ideias pelo professor dos anos iniciais está na possibilidade da escolha de problemas que possam envolver as várias ideias presentes, propiciando ao aluno o enfrentamento de situações diversas que o prepararão para resolver tipos diferentes de problemas.



Ideias da adição

As ideias presentes na operação de adição são as de “juntar” e “acrescentar”. Alguns autores não diferenciam as duas ideias. Já outros, como Cardoso (1998), diferenciam as ideias mencionadas. Vejamos dois problemas que podem justificar essa diferenciação: 1. Marcos tem 13 figurinhas e seu irmão José tem 7. Quantas figurinhas possuem os dois juntos? 2. Marcos tem 13 figurinhas e vai jogar com seu irmão. Se ele ganhar 7 nesse jogo, com quantas figurinhas ficará? Os dois problemas podem ser resolvidos com a operação 13 + 7. No primeiro caso, a ideia presente é juntar as quantidades; no segundo, é acrescentar uma quantidade a outra já colocada.

Concordamos com Cardoso (1998) quando diz que a diferença entre as duas ideias é muito sutil e dificilmente leva o aluno ao erro. Acreditamos que essa diferença dificilmente é observada e não representa preocupações por parte do professor quanto à escolha de problemas. No entanto, há de se ressaltar que essas ideias se diferem muito quando observamos os procedimentos que as crianças pequenas realizam para efetuarem adições. Para adicionar duas quantidades como 3 e 4, por exemplo, é comum observarmos crianças agindo de maneiras diferentes. Vejamos: • Algumas crianças representam a primeira quantidade com os dedos de uma das mãos e, a segunda, com os dedos da outra mão. Então, contam sequencialmente as duas quantidades. • Outras crianças representam apenas uma das quantidades em uma das mãos e realizam a contagem partindo da outra quantidade, prosseguindo com a indicação dos dedos que, inicialmente, representaram uma das quantidades. Nessas duas situações é possível identificar mais claramente a diferença entre a ideia de juntar e a ideia de acrescentar. No primeiro exemplo, o aluno “junta” duas quantidades e, no segundo, acrescenta uma quantidade a outra já considerada.



Ideias da substração

Sabe-se que a operação de subtração é, para a criança, uma operação mais complexa do que a operação de adição. Segundo pesquisas realizadas por Piaget, o raciocínio das crianças direciona-se primeiro para os aspectos positivos da ação, da percepção e da cognição. Posteriormente, elas se voltam para os aspectos negativos. Outra questão importante a se considerar é que a operação de subtração envolve ideias bastante diferentes:

• ideia de tirar; • ideia de comparar; • ideia de completar.



Vejamos os três problemas que seguem:

1. Em uma festa estavam 45 pessoas e 23 destas foram embora. Quantas pessoas ainda restam nessa festa? 2. Meu irmão tem 32 reais e eu tenho 15. Quantos reais meu irmão tem a mais do que eu? 3. Para preencher seu álbum, Tales precisa de 50 figurinhas. Ele já tem 17. Quantas figurinhas faltam para que seu álbum fique preenchido? O primeiro problema envolve a ideia de “tirar”, conhecida também como ideia subtrativa. Retira-se uma quantidade de objetos de mesma espécie de outra quantidade. Essa é a ideia mais trabalhada nos anos iniciais. A maioria das pessoas recorre a ela quando se refere à operação de subtração. Um esquema que poderia representá-la é:

6 – 2 = 4 Temos seis objetos; retiramos dois deles, restam quatro. O segundo problema compara duas quantidades de objetos de mesma espécie, ou seja, quantos reais uma pessoa tem a mais que outra. A ideia presente nesse problema é a de “comparar”. Não se deve deixar de trabalhar problemas que envolvam essa ideia. É importante que o aluno seja colocado em situações envolvendo ideias diferentes e, nesse caso, usa-se muito a expressão “mais que”, podendo confundir o raciocínio do aluno e encaminhá-lo para uma operação de adição. Um esquema que se poderia apresentar com essa ideia é:

6 – 2 = 4 Temos um grupo de seis objetos e outro grupo de dois.



Qual é a quantidade de objetos que um grupo possui a mais que o outro?

Pode-se concluir de duas maneiras diferentes: • seis tem quatro a mais que dois;

• dois tem quatro a menos que seis.

O terceiro problema apresenta a ideia de “completar”. Tales tem 17 figurinhas e quer chegar a 50. Quantas faltam? Essa ideia aparece em duas situações de algoritmos, um na própria subtração e outro no algoritmo do processo curto da divisão. Vejamos:



Método da compensação na subtração



Nesse método, a subtração desenvolve-se da seguinte forma: 50 – 17 =

50 – 1,7 3

Iniciando pela ordem das unidades: 7 para chegar a 10 faltam 3; como considerou 10 o zero da ordem das unidades no minuendo, compensa-se acrescentando uma dezena no subtraendo. 50 – 1,7 33 Tínhamos uma dezena no subtraendo, e, somada com outra da compensação, temos 2; 2 para chegar a 5 faltam 3.



Processo curto da divisão



Nesse método encaminhamos a divisão da seguinte forma:



74 : 2 =

74

2 3

Sete dezenas divididas por dois é igual a três dezenas. 74

2

1

3

Três dezenas vezes dois é igual a seis dezenas. Seis dezenas para chegar a sete dezenas, falta uma dezena. 74

2

14

3

Juntam-se quatro unidades a uma dezena que sobrou da divisão anterior, tendo, assim, 14 unidades.



74

2

14

37

Quatorze unidades divididas por dois é igual a sete unidades. 74

2

14 0

37

Sete unidades vezes dois é igual a 14 unidades. 14 para chegar a 14 falta zero. Para representar a ideia de “completar” na subtração, podemos apresentar o seguinte esquema: 6 – 2 = 4



Temos dois; para completar seis, faltam quatro.

É importante que o professor contemple em suas atividades problemas que envolvam todas as ideias.



Ideias da multiplicação

A operação de multiplicação envolve duas ideias básicas: a soma de parcelas iguais e a ideia de combinatória. Vejamos os seguintes problemas: 1. Um carro possui quatro rodas. Quantas rodas possuem três carros semelhantes ao primeiro? 2. Tânia possui três saias e quatro blusas. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir? O primeiro problema envolve a ideia de soma de parcelas iguais. Vejamos um esquema para sua solução:

• 4 + 4 + 4 = 12, o que equivale a 3 . 4 = 12

O segundo problema envolve a ideia de “combinatória”. Cada saia combinará com uma blusa. Assim, as possíveis maneiras de Tânia se vestir serão: Considerando três saias, S1 S2 e S3, e quatro blusas, B1, B2, B3 e B4, Tânia poderá se vestir com: S1 e B1 ou S1 e B2 ou S1 e B3 ou S1 e B4 S2 e B1 ou S2 e B2 ou S2 e B3 ou S2 e B4 S3 e B1 ou S3 e B2 ou S3 e B3 ou S3 e B4 ou simplesmente:

3. 4 = 12 maneiras diferentes.

É de fundamental importância que o professor não se esqueça que a multiplicação oferece à criança um contato com a proporcionalidade, uma das ideias mais importantes da Matemática.



Ideias da divisão



A operação de divisão envolve duas ideias distintas: a de repartir e a de medir.

Vejamos os problemas seguintes.

1. Maria tem 20 reais e quer repartir essa quantia entre seus cinco sobrinhos. Quantos reais receberá cada sobrinho? 2. A professora Nair quer formar grupos de cinco alunos com os seus 20 alunos. Quantos grupos ela conseguirá formar? O primeiro problema envolve a ideia de repartir igualmente e o segundo de medir: quantas vezes a quantidade 5 cabe em 20? O procedimento para desenvolver a ideia presente em cada um dos problemas é bem diferente. Analisemos cada caso.



Problema 1:

Para resolver essa questão, a criança pode distribuir aos sobrinhos de Maria, um a um, cada real da quantidade total. A resposta da questão será a quantidade que cada um dos sobrinhos receber.



Problema 2:

Nesse caso, a resolução pode ser encaminhada formando grupos de cinco alunos. Quando todos os alunos forem reagrupados, conta-se o número de grupos formados. Essas duas ideias estão presentes em dois dos métodos de divisão. O método menos usado em nossas escolas é o método conhecido como “método americano”, que consiste em fazermos sucessivas estimativas. Vejamos como a ideia de medida se apresenta nesse método: 20

20

– 10

2

o 5 cabe uma vez em 10

10 5 –

5 5 0

o 5 cabe duas vezes em 20 e ainda sobram 10

1 1 4

e ainda sobram 5 o 5 cabe uma vez em 5 e não resta nada.

O processo mais usado para efetuar divisões envolve a ideia de divisão em partes iguais. Vejamos: 20

5

2 dezenas divididas em 5

– 20

4

partes iguais resultam em 4

0

unidades em cada parte.

A compreensão dessas ideias pela criança é de fundamental importância para que ela possa resolver problemas das mais variadas categorias e, além disso, possibilita a compreensão das diversas técnicas utilizadas nas quatro operações fundamentais.



Texto complementar Processo de recurso à ordem superior (TOLEDO; TOLEDO, 1997, p. 116-117, 119)

A concretização da ideia de subtrair por meio de uma situação fazendo uso do dinheiro é a que tem conduzido aos melhores resultados. Considerando uma moeda criada pelos alunos (o tut), pode-se colocar a seguinte situação: você tem 5 notas de T$10 e 4 notas de T$1 e precisa pagar T$38 a uma pessoa que não tem troco nenhum. Como fazer? Os alunos logo percebem que devem trocar uma nota de T$10 por 10 notas de T$1, ficando com 14 notas de T$1. Assim, entregam 8 notas de T$1 e ainda ficam com 6 notas de T$1. Como 1 nota de T$10 já foi trocada, o aluno tem ainda 4 notas; entrega 3 e fica com 1. O resultado é, então, T$16. Fazendo a representação no algoritmo, temos:



O mesmo pode ser realizado com o material dourado.



Emprestar: controvérsias

O termo “emprestar” é considerado bastante inadequado, pois pede-se emprestado, mas não se paga o empréstimo feito. Além disso, o aluno que não compreende bem o processo de agrupamentos e trocas e só faz contas com lápis e papel, sem agir sobre materiais de contagem, não entende por que pede 1 emprestado e recebe 10.

Quando se usa o termo “trocar”, no entanto, fica claro que sempre se troca uma nota de dinheiro por outras que, somadas, representam o mesmo valor da primeira. Assim, no problema que acabamos de ver, trocou-se uma nota de T$10 por dez notas de T$1, ou seja, trocou-se 1 dezena por 10 unidades.



A subtração no século IX

Por volta do ano 820, foi fundada, em Bagdá, a Casa da Sabedoria, onde se reunia um grande número de sábios vindos do mundo todo. Entre eles encontravase o grande matemático e astrônomo Mohammed ibu Musa al-Khowarizmi, um dos responsáveis pela divulgação, na Europa, do sistema de numeração indo-arábico (de seu nome derivam os termos algarismos e algoritmo).

Eis o algoritmo que al-Khowarizmi utilizava para fazer subtrações: • inicia-se o processo da esquerda para a direita; • os algarismos utilizados em cada subtração parcial são riscados, colocandose o resultado acima deles; • são usados, no minuendo, os algarismos necessários para formar um número maior que o do subtraendo.



Veja os exemplos a seguir:



a) 7 582 – 1 936 = 5 646



subtrações parciais:



7 – 1 = 6; 65 – 9 = 56;



8 – 3 = 5; 52 – 6 = 46.

b) 28 347 – 9 186 = 19 161



subtrações parciais:

28 – 9 = 19; 3 – 1 = 2;

24 – 8 =16; 7 – 6 = 1

Trechos do livro Fundamentos da Educação Matemática das Profs. ª Magna Natália Marin Pires e Marilda Trecenti Gomes





Dicas de estudo Ler o livro: Materiais Didáticos para as Quatro Operações. Autora: Virginia C. Cardoso. Editora: USP.

A obra explora o trabalho com vários materiais manipuláveis e aborda as ideias das quatro operações fundamentais.

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