SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DE EDUCAÇÃO DIRETORIA DE TECNOLOGIA EDUCACIONAL PORTAL DIA A DIA EDUCAÇÃO SEQUÊNCIA DE AULAS – MATEMÁTICA

1. Nível de ensino: Ensino Fundamental – 9º ano 2. Conteúdo Estruturante: Números e Álgebra 2.1 Conteúdo Básico: Conjuntos Numéricos e Operações 2.2 Conteúdo Específico: Teorema de Pitágoras 3. Objetivo: Compreender a demostração geométrica do Teorema de Pitágoras 4. Número de aulas estimado: 3 aulas 5. Recursos • TV Multimídia ou projetor de imagens (data show ou retroprojetor) • Computador com acesso à internet para fazer download dos recursos sugeridos. • Mão na Forma: O Barato do Pitágoras • O Que é Hipotenusa Parte 1; Parte 2 • O Teorema de Pitágoras com material emborrachado • Teorema de Pitágoras 1 • Teorema de Pitágoras 2 • Relato de experiência Teorema de Pitágoras 6. Justificativa: Considerado um dos alicerces da Matemática, o Teorema de Pitágoras permite construir e generalizar diversas situações matemáticas. Trata-se, segundo Bastiam (2000, p. 1) “de um vasto campo, compreendendo múltiplos aspectos. Poderíamos focalizar a parte histórica e epistemológica, dada a importância do Teorema de Pitágoras na discussão dos 'incomensuráveis'; ou o objeto matemático possuidor de quase 400 demonstrações”. Dentre as muitas aplicações do Teorema de Pitágoras Bastiam (2000, p. 60) destaca a importância de seu ensino nos anos finais Ensino Fundamental para prosseguimento dos estudos em Matemática, a saber: cálculo de diagonal – quadrado, retângulo, losango, trapézio (dependendo dos dados); altura de triângulo equilátero, isósceles, trapézio; comprimento de segmentos de tangente, cordas; relações entre lado, apótema e raio para polígonos inscritos e circunscritos; construção com régua e compasso de segmentos de medidas 5, 3, 2 etc.; distância entre dois pontos no plano cartesiano; equação de uma circunferência; estabelecimento da relação sen²x + cos²x = 1; problemas práticos como, por exemplo, determinação do comprimento de correia, envolvendo polias; (tangente comum a duas circunferências dadas); elementos de circunferências tangentes. Para o Ensino Médio Bastiam (2000, p. 60) enumera a importância de conhecer o Teorema de Pitágoras para que os estudantes possam calcular a diagonal de cubo, paralelepípedo, prismas em geral; relação entre altura, apótema da base e apótema de pirâmides regulares: relação entre altura, raio do círculo circunscrito à base e aresta lateral em pirâmides regulares; relação entre altura, geratriz e raio da base num cone reto; distância de um plano secante, ao centro de uma esfera, em relação ao raio da esfera e ao raio da secção; módulo de um número complexo z = (x, y); numa

elipse de eixo maior medindo 2a, eixo menor 2b e distancia focal 2c; numa hipérbole, c²= a²+ b² quando: 2a = medida do eixo real; 2b = medida do eixo imaginário; 2c = distância focal. Dentre as aplicações mais básicas deste teorema em situações cotidianas pode-se destacar problemas simples de cálculo de medidas de comprimento como, por exemplo o problema: “uma escada de 5 m de comprimento está apoiada num muro. O pé da escada está afastado 3 m da base do muro. Qual é a altura, no muro, que a escada alcança?”. Destaca-se que este teorema também possui grande importância no estudo da Física como, por exemplo, para obtermos o módulo do vetor resultante, entre outras aplicações. Além da importância do ensino deste teorema queremos também justificar a metodologia sugerida nesta sequência de aulas para seu ensino. Aqui, queremos destacar que esse ensino pode ir muito além da apresentação da fórmula (a² = b² + c²) em que se limita a ensinar a calcular a medida do terceiro lado quando se conhece as medidas de dois dos lados de um triângulo retângulo. A intenção nesta sequência de aulas é iniciar o trabalho com o Teorema de Pitágoras a partir de um contexto de simples aplicação de fórmula e evoluir para contextos em que o estudo dos triângulos em geral faz mais sentido. Do contexto do estudo das características dos triângulos em geral parte-se para o estudo do triângulo retângulo e do Teorema de Pitágoras. Os contextos estão em um vídeo e em um áudio em que os personagens discutem sobre triângulos em geral, sobre o triângulo retângulo e sobre o teorema de Pitágoras. No vídeo uma adolescente relembra do seu primeiro contato com o Teorema de Pitágoras em que a professora apenas recitava o teorema, sem maiores explicações quanto à sua origem e quanto às suas aplicações. Após esta abordagem o vídeo mostra alguns objetos em que são aplicadas as características dos triângulos, em especial a estabilidade que os triângulos oferecem às estruturas físicas. Mostra-se triângulos nos tripés, nas construções civis (telhados e portões) e também em plantas monocotiledôneas que sempre apresentam formas trímeras. Após esta abordagem, parte-se para o estudo das especificidades do triângulo retângulo, desde a origem da nomenclatura até o teorema de Pitágoras com uma demostração visual deste teorema por meio de áreas em que a área do quadrado cujo lado é a medida da hipotenusa é a soma das áreas dos dois quadrados cujas medidas dos lados são as medidas dos catetos do mesmo triângulo. No áudio discute-se o significado da palavra hipotenusa tratando dos radicais da palavra e seus significados e da formalização do Teorema de Pitágoras no contexto histórico. 7. Encaminhamento Essa sequência de aulas pode ser aplicada no primeiro contato dos alunos com o teorema de Pitágoras. Quando usamos recursos diferentes daqueles a que os alunos estão acostumados no cotidiano escolar, ou quando tentamos trazer para as aulas aplicações práticas dos conteúdos que estamos trabalhando há alunos que contestam essas abordagens. Para esses alunos o professor só está “dando aulas” de matemática quando trabalha do modo mais tradicional possível, isto é, quando apresenta uma teoria, suas aplicações e em, seguida dá exemplos de exercícios e depois uma lista de exercícios similares para os alunos resolverem. Por isso, nesta sequência de aulas sugerimos que se inicie o trabalho com o teorema de Pitágoras do modo tradicional, ou seja, apresentar o teorema para os alunos apenas a partir do desenho do triângulo retângulo com a indicação das medidas de seus lados acompanhado da fórmula a² + b² = h² em que a e b são os catetos e h é a hipotenusa. 1ª aula– Exposição, debate e vídeo Inicie a aula Informando aos alunos que será inciado o estudo do teorema de Pitágoras. Desenhe um triângulo retângulo na lousa e identifique os lados com as letras h, b e c, sendo h a hipotenusa e b e c os catetos, mostre o significado de cada letra da fórmula desse triângulo e recite o

texto a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Após esta explanação perguntar aos alunos: - Vocês compreenderam a explicação dada sobre o teorema de Pitágoras? Aqui, não é preciso se preocupar se a resposta foi sim ou não. O que importa é que eles tenham passado pela experiência de ter contato com uma explicação descontextualizada desse teorema. Após essa breve introdução, explicar para os alunos que será exibido um vídeo sobre o teorema de Pitágoras e exibir a forma reduzida do vídeo Mão na forma: o barato do Pitágoras . Durante a exibição: - Pausar aos 58 segundos logo após a apresentadora dizer eu não entendi nada e Perguntar aos alunos: e vocês, entenderam alguma coisa até agora? Deixe que os alunos se expressem e registre na lousa as observações que fizerem sobre o que assistiram. - Continue a execução do vídeo até que se conclua a parte das explicações sobre os triângulos e pergunte: até agora, vocês viram o teorema que apresentei no início da aula neste vídeo? Espera-se que os alunos respondam que não. Você pode explicar que, de fato, até o momento o vídeo não tratou do teorema de Pitágoras, mas das propriedades dos triângulos em geral e que, na sequência será dada uma explicação sobre o teorema de Pitágoras. - Finalize a execução do vídeo e pergunte aos alunos: agora o teorema de Pitágoras faz mais sentido para vocês? Explique que o estudo do teorema de Pitágoras será retomado na próxima aula. 2.ª aula – Exposição, debate e áudio Retomar rapidamente o que foi trabalhado na aula anterior. Para isso projetar as imagens Teorema de Pitágoras 1 e Teorema de Pitágoras 2 e retomar o teorema mostrando nas imagens que a medida da área do quadrado cujo lado é a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são as medidas dos dois catetos do mesmo triângulo retângulo. Em seguida, perguntar aos alunos o que significa para eles a palavra hipotenusa. Ouvir os seus palpites, registrá-los na lousa e, em seguida, informar que será executado um áudio em que é discutido o significado da palavra hipotenusa. Durante e execução do áudio: - Parar a execução no momento em que o professor encerra a explicação sobre o que é hipotenusa (três minutos e 35 segundos). Mostre aos alunos em uma das duas imagens projetadas anteriormente onde está o ângulo reto do triângulo e onde está a hipotenusa que fica do lado oposto do ângulo reto. - Retome a execução do áudio e pare novamente quando o professor recita o teorema de Pitágoras o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos (quatro minutos e sete segundos). Pergunte aos alunos se eles perceberam alguma diferença entre o teorema recitado no áudio e o teorema estudado na aula anterior por meio do vídeo. Espera-se que eles percebam que o teorema foi apresentado de duas formas, no vídeo ele começa com a soma dos quadrados dos catetos e no áudio ele começa com o quadrado da hipotenusa. Explique aos alunos que se trata da

mesma igualdade, ou seja, dizer que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa é o mesmo que dizer que o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. Faça isso mostrando os dois formatos da fórmula na lousa. Aproveite para mostrar também que eles encontrarão a hipotenusa em materiais variados sendo identificada com a letra h e ou com a letra a. - Retome a execução do áudio até o final e comente com os alunos sobre a diferença com que a questão histórica é tratada no vídeo e o modo como esta mesma questão é tratada no áudio. No vídeo o teorema é atribuído a Pitágoras, já no áudio o professor explica que se trata da escola pitagórica. Informar aos alunos que essas controvérsias em relação à história são comuns e nos fazem olhar para o conhecimento de forma relativa. - Execute a segunda parte do áudio O que é hipotenusa. Acompanhe a explicação do professor no áudio em uma das imagens projetadas anteriormente. Deixe o áudio executar até o final e informe os alunos que eles estudarão a lei dos cossenos, citada no áudio, de forma mais aprofundada no Ensino Médio. 3ª aula – avaliação diagnóstica de aprendizagem referente ao conteúdo trabalhado Para avaliar a aprendizagem dos alunos pode trabalhar com um problema simples de aplicação do teorema como, por exemplo, o problema que usamos na justificativa desta aula que é: “uma escada de 5 m de comprimento está apoiada num muro. O pé da escada está afastado 3 m da base do muro. Qual é a altura, no muro, que a escada alcança?”. Neste caso, sugere-se escrever na lousa a fórmula do teorema de Pitágoras e representar a situação do enunciado do problema com um desenho. Dar um tempo para os alunos resolverem o problema, podendo ser em grupos de até três alunos e discutindo as soluções encontradas fazendo as intervenções necessárias. Aqui é importante valorizar as estratégias de resolução corretas usadas pelos alunos como também fazê-los refletirem sobre encaminhamentos de resolução incorretos Caso os alunos não consigam resolver o problema em um intervalo de tempo de 30 minutos, o professor pode resolver o problema na lousa com os alunos acompanhando a resolução. Para consolidação da aprendizagem sugere-se também trabalhar com materiais manipulativos, conforme sugeridos no artigo de Lamas e Mauri O Teorema de Pitágoras e as relações métricas no triângulo retângulo com material emborrachado. Outra sugestão pode ser encontrada no relato de experiência “Teorema de Pitágoras” com uso do software GeoGebra da professora Eunice Aparecida Wurtzius. 8. Adequações para alunos com necessidades especiais Para alunos cegos, produzir as imagens que aparecem no vídeo usando cola relevo. Sugere-se essa elaboração especialmente para a imagem em que se demostra o teorema de Pitágoras. 9. Aprendizagem esperada Espera-se que após esta sequência de aulas os alunos tenham compreendido a demonstração geométrica do Teorema de Pitágoras, bem como sejam capazes de aplicar esse teorema na resolução de problemas simples que envolvem o cálculo da medida de um dos lados do triângulo retângulo, quando se conhecem as outras duas medidas. 10. Referências ALMOULOUD, Saddo Ag e BASTIAN, Irma Verri. O teorema de Pitágoras: uma abordagem enfatizando o caráter necessário/suficiente. In: Educação Matemática em revista. Ano 10. n. 14.

São Paulo: SBEM, 2003. BASTIAN, Irma Verri. O teorema de Pitágoras. Dissertação (mestrado). São Paulo: PUC, 2000. 187 p. Disponível em http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/mydownloads_01/singlefile.php? cid=4&lid=1480. Acesso: mar/2013. JAHN, Ana Paula e BONGIOVANNI, Vincenzo. O teorema de Pitágoras segundo a dialética ferramenta-objeto. IN: Revemat – Revista Eletrônica de Educação Matemática. V 3.7, p.78-83, USC, 2008.